상보여유성 (Complementary Slackness)
한 줄 정의: 최적해에서 여유가 있는 제약의 쌍대변수는 0이고, 쌍대변수가 양수인 제약은 등호로 묶인다는 조건입니다.
쉽게 풀면
자원이 남아도는 상황이라면 그 자원을 조금 더 얻어도 이익이 늘지 않으니 가치는 0입니다. 반대로 자원의 가치가 0보다 크다면 그 자원은 남김없이 다 쓰이고 있다는 뜻입니다. 이 당연해 보이는 짝 관계를 최적해의 조건으로 정리한 것이 상보여유성입니다.
왜 중요한가
원문제 해만 알 때 쌍대해를 복원하거나, 주어진 해가 정말 최적인지 검증할 때 바로 쓰입니다. 비선형 최적화의 KKT 조건, 균형 모형, 원-쌍대 알고리즘의 핵심 구성요소이기도 합니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"상보여유성 조건을 이용해 제안된 생산계획의 최적성을 검증하였다. 여유가 남은 창고 용량 제약의 쌍대변수를 0으로 두고 구한 나머지 쌍대변수는 쌍대 가능성을 만족하였다."
원문제 해에서 쌍대해를 구해 최적성을 확인하는 전형적 활용입니다.
조금 더 깊게 보면
원문제 가능해 x와 쌍대 가능해 y가 모두 최적일 필요충분조건은, 각 제약에 대해 (여유변수)×(대응 쌍대변수)=0, 각 변수에 대해 (변수값)×(대응 쌍대 제약의 여유)=0이 성립하는 것입니다. 곱이 0이라는 것은 둘 중 적어도 하나가 0이라는 뜻이며, 둘 다 0일 수도 있습니다. 이 조건은 두 문제의 목적함숫값이 같다는 강쌍대성으로부터 유도됩니다. 비선형계획의 KKT 조건에서는 부등식 제약과 라그랑주 승수 사이의 같은 형태 조건으로 나타납니다.
주의할 점
'쌍대성이론'과 'KKT 조건'이 전체 틀이라면, 상보여유성은 그 안의 한 조건을 따로 떼어 해 복원·검증에 직접 쓰는 도구입니다. '한쪽이 0이면 다른 쪽은 반드시 양수'라는 뜻이 아니므로 거꾸로 해석하지 않도록 주의해야 합니다.