리만 계량 (Riemannian Metric)
한 줄 정의: 매끄러운 다양체의 각 점의 접공간에 내적을 매끄럽게 부여한 구조로, 곡선의 길이·각도·부피·곡률을 정의하는 근거가 됩니다.
쉽게 풀면
휘어진 곡면 위에서는 평면의 자를 그대로 쓸 수 없습니다. 리만 계량은 곡면(다양체)의 점마다 작은 자와 각도기를 하나씩 붙여 주는 규칙입니다. 이 규칙이 있어야 곡면 위의 길이와 최단 경로를 잴 수 있습니다.
왜 중요한가
측지선, 곡률, 부피 같은 기하학적 양이 모두 계량에서 나옵니다. 일반상대성이론에서 중력을 시공간의 휘어짐으로 설명하는 수학적 틀(부호가 섞인 로렌츠 계량)의 바탕이기도 합니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"구면에 표준 리만 계량을 주면 두 점 사이 최단 경로는 대원의 호가 되며, 이것이 장거리 항로 계산의 기초가 된다."
계량이 측지선을 정하는 예시입니다.
조금 더 깊게 보면
국소좌표에서 계량은 대칭 양의 정부호 행렬 g_ij로 쓰며, 선소 ds²=g_ij dx^i dx^j로 길이를 정의합니다. 계량에서 레비-치비타 접속이 유일하게 정해지고, 이로부터 리만 곡률 텐서가 나옵니다. 모든 매끄러운 다양체에는 리만 계량이 존재함이 알려져 있습니다. 양의 정부호가 아닌 경우는 준리만(로렌츠) 계량이라 부릅니다.
주의할 점
다양체는 바탕 공간일 뿐 길이 정보가 없고, 측지선과 곡률은 계량이 주어져야 정의됩니다. 같은 다양체라도 계량을 바꾸면 기하가 달라진다는 점에 주의하세요.