내적공간 (Inner Product Space)
한 줄 정의: 두 벡터에 스칼라를 대응시키는 내적이 정의된 벡터공간으로, 길이·각도·직교 개념을 일반적인 공간에서 쓸 수 있게 해 줍니다.
쉽게 풀면
평면 벡터의 내적으로 길이와 각도를 구할 수 있었지요. 내적공간은 그 내적을 함수나 행렬 같은 더 넓은 대상에도 정의한 공간입니다. 내적만 있으면 '두 함수가 수직이다' 같은 말도 할 수 있습니다.
왜 중요한가
직교 분해, 최소제곱 근사, 푸리에 급수처럼 '가장 가까운 것 찾기' 문제를 기하학적으로 풀 수 있게 합니다. 힐베르트 공간 이론과 양자역학, 신호처리의 기본 틀입니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"연속함수 공간에 적분 내적을 주면 내적공간이 되며, 삼각함수들은 이 내적에 대해 서로 직교한다."
함수 공간에서 내적과 직교를 쓰는 대표 예시입니다.
조금 더 깊게 보면
내적은 대칭성(복소수면 켤레대칭), 한 변수에 대한 선형성, 양의 정부호성을 만족해야 합니다. 내적에서 노름 ||v||=√⟨v,v⟩가 자연스럽게 나오므로 모든 내적공간은 노름공간입니다. 코시-슈바르츠 부등식과 평행사변형 법칙이 성립하며, 이 공간이 완비이면 힐베르트 공간이 됩니다.
주의할 점
힐베르트 공간은 완비성까지 요구하지만 내적공간은 완비일 필요가 없습니다. 모든 노름이 내적에서 나오는 것은 아니므로(평행사변형 법칙 확인) 노름공간과 내적공간을 같게 보면 안 됩니다.