노름공간 (Normed Vector Space)
한 줄 정의: 각 벡터에 길이 역할을 하는 노름이 정의된 벡터공간으로, 벡터 사이의 거리와 수렴을 논할 수 있는 해석학의 기본 구조입니다.
쉽게 풀면
노름은 벡터의 '크기'를 재는 자입니다. 벡터공간에 이런 자를 하나 정해 주면 노름공간이 됩니다. 크기를 잴 수 있으니 두 벡터가 얼마나 떨어져 있는지, 수열이 어디로 다가가는지도 말할 수 있습니다.
왜 중요한가
함수들의 공간에서 근사와 수렴을 다루는 함수해석학의 출발점입니다. 수치해석의 오차 분석, 최적화, 미분방정식 해의 존재 증명 등에서 공통 언어로 쓰입니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"연속함수 공간에 최대값 노름을 주면 노름공간이 되고, 이 노름에서의 수렴은 균등수렴과 같다."
노름 선택이 수렴의 의미를 정하는 예시입니다.
조금 더 깊게 보면
노름은 양의 정부호성, 스칼라배에 대한 동차성, 삼각부등식을 만족해야 합니다. 노름은 거리 d(x,y)=||x−y||를 주므로 모든 노름공간은 거리공간입니다. 유한차원에서는 모든 노름이 동치이지만 무한차원에서는 노름에 따라 수렴 개념이 달라집니다. 코시수열이 모두 수렴하는 완비 노름공간을 바나흐 공간이라 합니다.
주의할 점
'벡터의 노름'은 크기를 재는 함수 자체이고, 노름공간은 그런 함수가 주어진 공간입니다. 바나흐 공간은 완비성을 추가로 요구하므로 노름공간보다 좁은 개념입니다.