명제함수 (Propositional Function)
쉽게 풀면
명제함수는 'x는 소수이다'처럼 x라는 빈칸이 있는 문장이다. 이 문장은 x에 무엇이 들어가느냐에 따라 참일 수도(x=7일 때) 거짓일 수도(x=8일 때) 있다. 빈칸이 채워지지 않은 상태로는 참인지 거짓인지 정해지지 않는다는 점에서 일반 명제와 다르다.
왜 중요한가
변항을 포함해 그 변항에 특정 값이 대입되어야 비로소 참거짓을 가진 명제가 되는 명제함수로, 러셀이 술어논리를 형식화하는 데 활용한 핵심 개념이다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
'x는 사람이다'와 같이 참거짓이 미정인 명제함수 앞에 '모든 x에 대해' 같은 양화사를 붙임으로써, 비로소 참거짓이 확정되는 완전한 명제로 바뀐다는 술어논리의 기본 메커니즘을 설명한다.
단일 변항의 기본 설명이 아니라 변항이 두 개인 명제함수를 다룬 것으로, 양화사의 적용 순서에 따라 같은 명제함수가 다른 의미의 명제로 바뀔 수 있음을 보여 주는 문장입니다.
조금 더 깊게 보면
명제함수 자체는 변항이 미결정 상태이므로 진리치를 갖지 않으며, 양화사가 결합되거나 특정 값이 대입되어야만 완전한 명제가 된다는 점에서 자유변항과 속박변항의 구분과 밀접히 연관된다. 러셀은 명제함수 개념을 이용해 집합을 '어떤 명제함수를 만족하는 대상들의 모임'으로 재정의하려 했으나, 이 과정에서 자기 자신을 원소로 포함하지 않는 집합들의 집합을 다루는 러셀의 역설이 발견되어 유형 이론이라는 해결책을 낳았다. 유형 이론은 명제함수와 그것이 적용될 수 있는 대상들 사이에 위계를 두어, 명제함수가 자기 자신에게 적용되는 것과 같은 자기지시적 구성을 원천적으로 차단함으로써 역설을 피하려 했다.
주의할 점
명제함수는 수학의 함수와 이름이 비슷하지만, 수를 입력받아 수를 출력하는 것이 아니라 대상을 입력받아 참거짓(진리값)을 결정한다는 점에서 다르다는 것을 유의해야 한다. 명제함수는 수학의 함수와 이름이 비슷하지만, 수를 입력받아 수를 출력하는 것이 아니라 대상을 입력받아 참거짓(진리값)을 결정한다는 점에서 다르다는 것을 유의해야 하며, 이 차이 때문에 명제함수는 집합을 정의하는 도구로서 수학 함수와는 다른 방식으로 활용된다.