포아송분포 (Poisson distribution)
쉽게 풀면
어느 응급실에 "하루 평균 3명"의 교통사고 환자가 온다고 해봅시다. 그런데 실제로는 어떤 날은 0명, 어떤 날은 7명이 오기도 합니다. 이렇게 "평균 발생 횟수"는 알지만 매번 정확히 몇 번 일어날지는 무작위인 사건(하루 방문자 수, 시간당 콜센터 전화 수, 특정 유전자의 돌연변이 발생 횟수 등)을 설명할 때 쓰는 분포가 포아송분포입니다. 이항분포가 "성공/실패가 있는 시행을 정해진 횟수만큼 반복할 때"를 다룬다면, 포아송분포는 "정해진 구간(시간, 공간) 안에서 사건이 몇 번 일어나는지, 그 최대 횟수에 제한이 없을 때"를 다룹니다.
왜 중요한가
세상의 많은 데이터는 "몇 번 발생했는가"를 세는 계수 자료(count data) 형태로 존재하는데, 이런 자료는 음수가 없고 정수로만 이루어져 정규분포를 그대로 가정하기 어렵습니다. 포아송분포는 이런 계수 자료를 다루는 통계 모형의 출발점이 되기 때문에, 보건학의 질병 발생 건수, 통신공학의 트래픽 도착 건수, 보험 분야의 사고 청구 건수처럼 사건의 발생 빈도를 다루는 거의 모든 분야의 논문에서 등장합니다. 또한 포아송분포에서 파생된 포아송 회귀, 음이항 회귀 같은 모형들은 계수형 종속변수를 다루는 연구에서 표준적인 분석 도구로 쓰입니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
이 문장은 "환자 수, 사고 건수처럼 음수가 없고 정수로만 세어지는 사건 발생 횟수를 분석하기 위해, 정규분포 대신 포아송분포를 가정하는 회귀모형(포아송 회귀)을 사용했다"는 뜻입니다.
품질관리 분야에서는 제품 표면의 결함 수처럼 일정 단위(면적, 시간) 안에서 드물게 발생하는 사건의 개수를 포아송분포로 모형화해, 정상 범위를 벗어나는 이상 상태를 탐지하는 관리도를 설계하는 데 활용합니다.
통신·네트워크공학에서는 임의의 시간에 무작위로 도착하는 요청이나 패킷의 수를 포아송분포로 가정하고, 이를 바탕으로 대기행렬 이론을 적용해 시스템의 혼잡도나 지연시간을 예측하는 연구가 흔합니다.
조금 더 깊게 보면
포아송분포를 시간 축으로 확장한 개념이 포아송 과정(Poisson process)으로, 사건이 서로 독립적으로 무작위 시점에 발생한다는 가정 아래 사건 간 간격이 지수분포를 따른다는 성질과 함께 다뤄지는 경우가 많습니다. 또한 실제 데이터에서는 0이 지나치게 많이 관측되는 영과잉(zero-inflated) 현상이 나타나기도 하는데, 이런 경우 단순 포아송 회귀 대신 영과잉 포아송 모형을 사용해 별도로 0의 발생 과정을 모델링하기도 합니다.
주의할 점
포아송분포는 "평균과 분산이 같다"는 강한 가정을 전제로 합니다. 실제 데이터의 분산이 평균보다 훨씬 크게 나타나는 과대산포(overdispersion)가 있으면 포아송모형을 그대로 쓰기보다 음이항 회귀 등 대안을 검토해야 하며, 이는 회귀분석에서 등분산성 가정을 점검하는 것과 비슷한 맥락의 문제입니다.