위상공간(역학) (Phase Space)
한 줄 정의: 계의 모든 일반화 좌표와 그에 대응하는 운동량을 축으로 삼아, 계의 상태 하나를 한 점으로 나타내는 추상적 공간입니다.
쉽게 풀면
진자의 상태를 알려면 위치와 속도(운동량) 둘 다 알아야 합니다. 위치를 가로축, 운동량을 세로축으로 한 평면을 그리면, 진자의 상태는 한 점이고 시간에 따라 그 점이 곡선을 그립니다. 이런 공간이 위상공간입니다.
왜 중요한가
운동의 전체 모습을 한눈에 보여 주어 안정성, 주기 운동, 혼돈 등을 분석하는 도구가 됩니다. 통계역학에서 미시상태의 수를 세는 무대이기도 합니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"감쇠가 없는 진자의 위상공간 궤적은 닫힌 곡선을 이루며, 분리선 바깥의 궤적은 회전 운동에 해당한다."
위상공간 그림으로 운동 유형을 구분한 예시입니다.
조금 더 깊게 보면
N개 입자의 3차원 계는 6N차원 위상공간을 가집니다. 해밀턴 방정식은 위상공간의 흐름을 정하며, 리우빌 정리에 따르면 이 흐름에서 위상공간의 부피는 보존됩니다. 이 성질이 통계역학의 앙상블 이론과 에르고딕 가설의 바탕이 됩니다. 양자역학에서는 불확정성 원리 때문에 위상공간 한 칸의 크기가 대략 플랑크 상수 수준으로 제한됩니다.
주의할 점
수학의 위상공간(topological space)은 열린집합으로 정의되는 전혀 다른 개념입니다. 위치와 속도를 쓰는 '상태공간'과 섞어 쓰기도 하지만, 해밀턴 역학에서는 속도가 아닌 정준 운동량을 씁니다.