해밀턴 역학 (Hamiltonian Mechanics)
쉽게 풀면
뉴턴 역학이 "힘을 알면 가속도를 안다"라고 말한다면, 해밀턴 역학은 "에너지 함수를 알면 위치와 운동량이 어떻게 흘러가는지 안다"라고 말합니다. 여기서 에너지 함수를 해밀토니안이라고 부르고, 보통은 운동에너지와 퍼텐셜에너지를 합한 값입니다. 물체마다 위치 하나와 운동량 하나를 짝지어 두면, 운동 방정식은 시간에 대한 1차 미분방정식 두 개로 깔끔하게 정리됩니다. 복잡한 2차 방정식 하나 대신, 단순한 1차 방정식 두 개를 푸는 셈입니다.
왜 중요한가
해밀턴 형식은 에너지 보존이나 대칭성 같은 구조를 눈에 보이게 드러내기 때문에, 복잡한 계의 성질을 방정식을 다 풀지 않고도 논의할 수 있게 해 줍니다. 무엇보다 슈뢰딩거 방정식에서 해밀토니안이 그대로 연산자로 등장하기 때문에, 고전물리에서 양자역학으로 넘어가는 표준 통로 역할을 합니다. 통계역학에서도 분배함수를 정의할 때 해밀토니안이 출발점이 되므로, 물리학의 여러 분야가 공유하는 공통 언어에 가깝습니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
조금 더 깊게 보면
해밀턴 역학은 라그랑주 역학의 속도 변수를 운동량 변수로 바꾸는 르장드르 변환으로 유도됩니다. 그 결과 계의 상태는 위치와 운동량을 축으로 하는 공간의 한 점으로 표현되고, 시간이 흐르면 그 점이 일정한 규칙에 따라 흐르는 그림이 됩니다. 이 흐름은 부피를 보존한다는 성질(리우빌 정리)을 가지며, 이것이 통계역학에서 앙상블 개념이 성립하는 근거가 됩니다. 또한 좌표와 운동량을 섞어 새로운 변수로 바꾸는 정준 변환을 이용하면, 겉보기에 복잡한 문제가 훨씬 단순한 형태로 바뀌기도 합니다.
주의할 점
라그랑주 역학과 해밀턴 역학은 같은 물리를 다른 언어로 쓴 것이지, 서로 다른 이론이 아닙니다. 다만 라그랑주 형식은 속도를 변수로 쓰고 해밀턴 형식은 운동량을 변수로 쓰기 때문에, 어떤 문제에서는 한쪽이 훨씬 편리합니다. 또 해밀토니안이 언제나 총에너지와 같은 것은 아니며, 좌표가 시간에 의존하는 경우에는 둘이 달라질 수 있습니다.