모란지수 (Moran's I)
쉽게 풀면
지역 전체를 놓고 볼 때 이웃한 값들이 서로 얼마나 비슷한지를 하나의 숫자로 나타낸 것이다. 지도 위에서 비슷한 값을 가진 지역끼리 몰려있는지를 하나의 숫자로 요약해 보여주는 지표이다.
왜 중요한가
인접한 지역이 비슷한 값을 갖는 정도를 하나의 수치로 요약하는 공간적 자기상관의 표준 지표로, 회귀 분석 전에 공간 종속성을 진단하거나 지역 현상의 군집 여부를 검정하는 데 거의 모든 공간 통계 연구에서 쓰입니다. 부동산 가격, 질병 발생률, 투표 성향의 공간 패턴 분석이 대표적 활용 사례입니다.
계산과 범위
Moran(1950)의 지수는 다음과 같이 계산합니다.
I = (n ÷ W) × ΣiΣj wij(xi − x̄)(xj − x̄) ÷ Σi(xi − x̄)²
- n은 지역 수, wij는 지역 i와 j의 공간가중치(이웃이면 1, 아니면 0 같은 방식), W는 모든 가중치의 합입니다.
- 자기상관이 전혀 없을 때의 기댓값은 E[I] = −1 ÷ (n − 1)로, n이 크면 0에 가깝습니다.
- I가 이 기댓값보다 크면 비슷한 값끼리 이웃해 있는 양의 공간자기상관, 작으면 다른 값끼리 이웃한 음의 공간자기상관입니다.
- 상관계수와 달리 −1과 1 사이로 항상 제한되지는 않습니다. 가중치 행렬의 구조에 따라 범위가 달라집니다.
전역 지표이므로 지역 전체의 평균적인 경향만 알려 줍니다. 어디에서 군집이 생겼는지는 로컬 모란지수로 확인합니다.
해석 기준
3 × 3 격자 9개 지역의 가상 자료입니다. 이웃은 상하좌우로 맞닿은 지역(룩 인접)이고 가중치는 0 또는 1입니다. 이 경우 E[I] = −1/8 = −0.125입니다. 유의성은 값을 무작위로 섞어 I를 999번 다시 계산하는 순열검정(방향을 정한 단측 검정)으로 구했습니다.
| 자료 | 격자 값(행별) | I | p (순열검정) |
|---|---|---|---|
| A: 비슷한 값이 모여 있음 | 1 2 3 / 2 3 4 / 3 4 5 | 0.50 | 0.001 |
| B: 체스판처럼 번갈아 나옴 | 5 1 5 / 1 5 1 / 5 1 5 | -1.00 | 0.011 |
A는 I가 기댓값보다 훨씬 커서 양의 자기상관(p는 A에서 “I 이상” 방향), B는 기댓값보다 훨씬 작아 음의 자기상관(p는 B에서 “I 이하” 방향)을 보입니다. 지역이 9개뿐이라 이 예는 계산 과정을 보여 주는 용도이며, 실제 분석에서는 더 많은 지역과 실제 인접 정의를 씁니다.
보고 방법
- 양의 값이 곧 군집의 위치를 알려 주지는 않습니다. 위치를 찾으려면 로컬 모란지수나 핫스팟 분석이 필요합니다.
- 가중치 설정에 민감합니다. 경계를 공유하면 이웃(인접 기준)으로 할지, 일정 반경 이내를 이웃(거리 기준)으로 할지에 따라 I가 달라지므로 논문에서 가중치 행렬을 밝혀야 합니다.
- 유의성 판단에는 검정이 필요합니다. 정규근사 또는 순열(무작위화) 검정으로 p를 구해 보고합니다. 지역 수가 매우 적으면 검정력이 낮아 자기상관이 있어도 유의하지 않게 나올 수 있습니다.
- 원인은 별개 문제입니다. 양의 자기상관이 실제 공간 과정 때문인지, 집계 단위(공간 단위 선택)의 영향인지, 누락된 변수의 공간 패턴 때문인지는 추가 분석으로 구분해야 합니다.
- 범위가 [−1, 1]로 고정되지 않으므로 서로 다른 가중치 구조에서 구한 I를 단순 비교하지 않습니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
실제 논문에서
국내 학술지 논문에서 이 용어가 쓰인 문장을 그대로 옮겼습니다. 제목·학술지·연도와 원문 링크를 함께 적었습니다.
“모란지수에서 종속변수의 통계적 유의성을 확인하였고, 독립변수 중 공시지가의 모란지수가 가장 높았다.”
서울 소지역 노인의료복지시설의 입지 영향 요인에 관한 공간통계 분석, 대한보건연구, 2025 · KCI 한국학술지인용색인 · 원문 보기 ↗
“미시적 공간 규모의 몰공간적 분석에는 분산계수와 상이지수가, 그리고 광역적 공간 규모의 공간적 분석에는 모란지수가 이용되었으며, 분석은 서울 대도시권의 66개 시군구를 대상으로 수행되었다.”
서울 대도시권 외국인 노동자 거주 분포 집중도와 분리도에 대한 공간통계 분석 - 국적별 집적 혹은 사회경제적 집적? -, 대한지리학회지, 2024 · KCI 한국학술지인용색인 · 원문 보기 ↗
예시 문장
아래는 용어의 쓰임을 보여 주려고 만든 예시로, 실제 논문에서 가져온 문장이 아닙니다.
모란지수 값이 양수이면 유사한 값끼리 인접하는 군집 경향을, 음수이면 상반된 값끼리 인접하는 경향을 나타낸다.
비슷한 가격대의 지역끼리 모여 있는지를 그래프로 그려서 눈으로 확인했다는 분석 방법을 설명한다.
조금 더 깊게 보면
모란지수가 유의하다는 것은 전체적으로 군집이 있다는 뜻이지 어디에 있는지는 알려주지 않으므로, 위치를 찾으려면 로컬 모란이나 핫스팟 분석이 필요합니다. 값은 인접을 어떻게 정의했는지에 크게 좌우되며, 상관계수처럼 -1에서 1 사이로 정확히 제한되지 않습니다.
양의 자기상관이 실제 공간 과정의 결과인지 집계 단위의 산물인지, 또는 누락 변수의 공간 패턴인지 구분하려면 추가 분석이 필요합니다.
모란지수는 관측값과 평균의 편차를 공간가중치로 곱해 합산한 뒤 분산으로 표준화하는 방식으로 계산되며, 공간가중치 행렬을 인접기준(경계를 공유하는 지역)으로 할지 거리기준(일정 반경 이내)으로 할지에 따라 값이 달라진다.
값의 통계적 유의성은 흔히 자료를 무작위로 뒤섞어 반복 계산하는 순열검정(무작위화 검정) 방식으로 확인한다. 모란지수는 원래 통계학자 패트릭 모란이 제안한 지표로, 이후 지리학과 공간통계학 전반에서 표준 도구로 자리 잡았다.
시간에 따라 모란지수를 반복 계산하면 특정 현상의 공간적 군집이 시간이 지나며 강해지는지 약해지는지도 추적할 수 있다.
주의할 점
모란지수는 연구지역 전체의 평균적 경향만을 나타내므로 국지적인 군집 위치를 파악하려면 로컬모란지수가 필요하다.
표본 지역 수가 매우 적으면 모란지수의 통계적 검정력이 낮아져 실제로 자기상관이 있어도 유의하지 않다는 결과가 나올 수 있다.
헷갈리기 쉬운 용어
공간자기상관을 재는 지표는 범위와 질문이 다릅니다.
| 지표 | 범위 | 무엇을 알려 주나 |
|---|---|---|
| 모란지수(전역) | 가중치에 따라 다르며 대개 −1~1 근처 | 지역 전체에 군집 경향이 있는가 |
| 로컬 모란지수(LISA) | 지역별로 계산 | 어느 지역에 어떤 유형의 군집이 있는가 |
| 게리지수 | 0~2 근처(1이 무상관) | 이웃 간 차이의 제곱합 기준, 국지적 차이에 민감 |
| 자기상관(시계열) | −1~1 | 시간 지연에 따른 상관(공간이 아닌 시간) |
참고 문헌
- Moran, P. A. P. (1950). Notes on continuous stochastic phenomena. Biometrika, 37(1-2), 17–23.
- Cliff, A. D., & Ord, J. K. (1981). Spatial Processes: Models and Applications. Pion.
- Anselin, L. (1995). Local indicators of spatial association: LISA. Geographical Analysis, 27(2), 93–115.
표의 기준값은 위 문헌에 근거한 관례이며, 분야·학술지마다 다른 기준을 쓸 수 있습니다.