중위절대편차 (Median Absolute Deviation)

한 줄 정의: 극단적인 값(이상치) 몇 개에 흔들리지 않고 데이터가 중앙값에서 평균적으로 얼마나 떨어져 있는지를 보여주는 산포도 지표입니다.

쉽게 풀면

표준편차는 데이터가 평균에서 얼마나 흩어져 있는지 보여주지만, 값 하나가 유난히 크거나 작으면(이상치) 평균 자체가 그쪽으로 끌려가면서 표준편차도 함께 부풀려지는 약점이 있습니다. 중위절대편차(MAD)는 평균 대신 이상치에 잘 흔들리지 않는 중앙값을 기준으로 삼습니다. 먼저 각 데이터가 중앙값에서 얼마나 떨어져 있는지(절대값 거리)를 구한 뒤, 그 거리들의 중앙값을 다시 계산하는 방식입니다. 이렇게 "중앙값을 두 번" 쓰기 때문에 몇 개의 극단치가 섞여 있어도 데이터가 실제로 얼마나 퍼져 있는지를 안정적으로 보여줍니다.

왜 중요한가

실제 데이터에는 측정 오류나 드문 극단 사례처럼 표준편차를 크게 왜곡시키는 값들이 섞여 있는 경우가 많습니다. 중위절대편차는 이런 값들에 상대적으로 덜 흔들리는 성질(로버스트성) 때문에, 이상치를 탐지하거나 정규성 가정이 깨진 데이터를 다룰 때 표준편차의 대안 또는 보완 지표로 폭넓게 쓰입니다. 생체신호, 설문 응답, 센서 데이터처럼 잡음이 섞이기 쉬운 자료를 다루는 여러 분야에서 전처리 단계의 표준 도구로 자리잡고 있습니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

"반응시간 자료에 극단값이 다수 포함되어 있어, 표준편차 대신 중위절대편차(MAD)를 이용해 이상치를 정의하고 제거하였다(중앙값 ± 3×MAD를 벗어난 값 제외)."

이 문장은 "반응시간처럼 몇몇 값이 유난히 튀는 자료에서는 평균·표준편차 기준으로 이상치를 걸러내면 부정확할 수 있어, 이상치에 덜 민감한 MAD를 기준으로 이상치를 판별했다"는 뜻입니다. 실험심리학이나 생리 신호 분석처럼 이상치가 흔한 분야에서 자주 쓰입니다.

"웨어러블 기기에서 수집한 심박변이도 신호의 잡음 구간을 걸러내기 위해, 이동 중위절대편차(rolling MAD)를 임계값으로 삼아 비정상 값을 탐지하였다."

시계열 신호 처리 연구에서는 구간별로 MAD를 계산하며 이상 구간을 실시간으로 탐지하는 방식으로 이 지표가 활용됩니다.

"소득 자료의 강한 왜도를 고려하여, 평균 대신 중앙값을, 표준편차 대신 중위절대편차를 보고하여 산포도를 제시하였다."

경제·사회 조사 자료처럼 분포가 한쪽으로 치우친 데이터를 요약할 때, 중앙값과 짝을 이루는 산포도 지표로 MAD가 함께 보고되는 경우가 많습니다.

조금 더 깊게 보면

MAD는 정의상 자료가 정규분포를 따를 때 표준편차보다 작게 나오는데, 이를 표준편차와 같은 척도로 맞추기 위해 정규분포 가정 하에서 유도된 상수(약 1.4826)를 곱한 scaled MAD를 표준편차의 로버스트 추정치로 사용하는 경우가 흔합니다. 이상치 탐지 시 흔히 쓰이는 "중앙값 ± k×MAD" 기준에서 k값(3 등)은 절대적인 규칙이 아니라 연구자가 자료 특성에 맞게 정하는 경험적 기준이라는 점도 함께 알아두면 좋습니다. 비슷한 목적의 로버스트 산포도 지표로는 사분위범위나 절사평균 기반의 산포도 등이 있으며, 어떤 지표를 쓰느냐에 따라 이상치 판정 결과가 달라질 수 있습니다.

주의할 점

MAD는 원래 단위 그대로는 표준편차보다 값이 작게 나오기 때문에, 정규분포를 가정할 때는 흔히 1.4826을 곱해 표준편차와 비교 가능한 척도로 조정한 값(scaled MAD)을 사용합니다. 이 조정을 하지 않고 표준편차나 사분위범위와 그대로 비교하면 산포도를 과소평가하게 되므로 주의해야 합니다.