로그정규분포 (Log-normal Distribution)
쉽게 풀면
가구 소득이나 도시 인구, 약물의 혈중 농도 같은 데이터를 히스토그램으로 그려보면 대부분 낮은 값에 몰려 있고 소수의 매우 큰 값이 오른쪽으로 길게 꼬리를 늘어뜨리는 모양이 됩니다. 이런 데이터에 로그(log)를 씌워서 다시 그려보면 신기하게도 좌우 대칭인 종 모양, 즉 정규분포에 가까워지는 경우가 많습니다. 이렇게 "원래 값은 삐뚤지만 로그를 취하면 정규분포가 되는" 데이터가 따르는 분포가 바로 로그정규분포입니다. 여러 개의 독립적인 요인이 더해지는 것이 아니라 곱해져서 결과가 결정되는 현상(예: 여러 단계를 거치며 비율로 증폭되는 과정)에서 자주 나타납니다.
왜 중요한가
로그정규분포는 소득, 자산, 도시 크기, 입자 크기, 생물학적 농도 등 여러 곱셈적 성장 과정을 따르는 실제 현상에서 흔히 관찰되기 때문에, 경제학·생물학·환경과학 등 다양한 분야의 논문에서 반복적으로 등장합니다. 데이터가 로그정규분포를 따르는지 확인하는 작업은 이후 사용할 통계 기법(모수적 검정, 회귀모형 등)의 타당성을 좌우하는 전제 조건 점검에 해당하므로, 분석 초반에 반드시 다뤄지는 절차입니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
이 문장은 원래 데이터의 분포가 심하게 치우쳐 있어 정규분포를 가정하는 통계 기법을 그대로 쓸 수 없었기 때문에, 로그값으로 바꾼 뒤 분석했다는 뜻입니다.
경제학 연구에서 자산이나 소득처럼 극단적으로 큰 값을 가진 사람이 소수 존재하는 데이터를 다룰 때, 로그로 변환한 뒤 통계 분석을 진행했다는 뜻입니다.
환경과학에서는 오염물질 농도처럼 치우친 분포를 요약할 때 일반적인 산술평균 대신, 로그 척도에 맞는 기하평균을 대표값으로 사용한다는 의미입니다.
조금 더 깊게 보면
로그정규분포를 요약할 때는 산술평균 대신 기하평균과 기하표준편차를 쓰는 것이 더 적절한 경우가 많은데, 이는 로그 척도에서의 평균과 표준편차를 다시 원래 척도로 되돌린 값이기 때문입니다. 로그정규분포가 나타나는 이유는 흔히 곱셈적 중심극한정리로 설명되는데, 여러 독립적인 양의 요인들이 더해지는 것이 아니라 곱해져서 결과가 결정될 때 그 결과값의 로그가 여러 항의 합이 되어 정규분포에 가까워지기 때문입니다. 정규분포와의 구분은 앞서 언급한 샤피로-윌크 검정 외에도 Q-Q 플롯 등 그래프 기반 방법으로 시각적으로 확인하는 경우가 많습니다.
주의할 점
로그정규분포를 따르는 데이터를 로그 변환 없이 평균과 표준편차만으로 요약하면, 소수의 극단값 때문에 대표성이 떨어지는 값이 나올 수 있습니다. 또한 로그 변환된 값의 평균을 다시 지수변환해도 원래 척도의 산술평균과 정확히 같지 않다는 점에 유의해야 합니다. 데이터가 정규분포를 따르는지는 샤피로-윌크 검정 등으로 먼저 확인하는 것이 일반적입니다.