리 군 (Lie Group)
한 줄 정의: 매끄러운 다양체이면서 동시에 군인, 연속적 대칭을 기술하는 구조입니다.
쉽게 풀면
회전처럼 각도를 조금씩 연속적으로 바꿀 수 있는 변환들의 모임을 생각해 봅시다. 이런 모임은 군이면서 동시에 매끄러운 곡면 같은 구조를 가집니다. 이렇게 대수적 구조와 기하적 구조를 함께 갖춘 것을 리 군이라고 합니다. 평면의 회전 전체가 원을 이루는 것이 가장 간단한 예입니다.
왜 중요한가
물리학의 보존법칙은 연속적 대칭에서 나온다는 뇌터 정리에 따라, 회전 대칭이나 게이지 대칭을 기술하는 리 군은 이론물리의 기본 언어가 됩니다. 로봇의 자세 표현, 영상 정합, 기계학습의 대칭 기반 모형에서도 표준 도구로 쓰입니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"회전군을 리 군으로 보고 대응하는 리 대수 위에서 최적화를 수행하였다."
조금 더 깊게 보면
리 군의 항등원에서의 접공간에 교환자 연산을 준 것을 리 대수라 하며, 지수사상을 통해 리 대수의 원소를 군의 원소로 보냅니다. 이 덕분에 곡면 위의 비선형 문제를 벡터공간 위의 선형 문제로 국소적으로 바꿀 수 있습니다. 3차원 회전군, 직교군, 유니터리군 등이 대표적이며, 각각 고전역학과 양자역학의 대칭을 기술합니다. 사원수의 단위 원소들이 3차원 회전군을 두 겹으로 덮는다는 사실은 로봇공학의 자세 표현에서 실제로 활용됩니다.
주의할 점
유한군이나 이산군과 달리 리 군은 연속적인 매개변수를 가지므로 원소를 하나씩 나열할 수 없습니다. 또 리 군과 리 대수는 대응하지만 같은 대상이 아니며, 서로 다른 리 군이 같은 리 대수를 가질 수 있습니다.