접공간 (Tangent Space)
쉽게 풀면
곡면 위의 한 점에 평평한 판(접평면)을 살짝 갖다 댄다고 생각하면, 그 판이 바로 그 점에서의 접공간과 비슷한 개념이다. 휘어진 공간이라도 아주 좁은 한 점 주변만 보면 평평한 벡터공간처럼 근사할 수 있다는 아이디어에서 나온 개념이다. 이 접공간 위에서는 익숙한 벡터의 덧셈이나 스칼라 곱 같은 선형대수의 도구를 그대로 사용할 수 있다.
왜 중요한가
다양체처럼 전체적으로는 휘어져 있는 공간도 각 점 주변만 보면 평평한 벡터공간으로 근사할 수 있다는 접공간의 아이디어는, 미분기하학뿐 아니라 로봇공학의 자세 표현, 컴퓨터 그래픽스의 곡면 처리, 최근에는 딥러닝의 다양체 학습에 이르기까지 폭넓게 활용됩니다. 복잡한 비선형 구조를 국소적으로 선형화해서 익숙한 선형대수 도구로 다룰 수 있게 해 주기 때문에, 곡면이나 고차원 데이터의 구조를 분석하는 여러 연구주제의 이론적 토대가 됩니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
리만 기하학이나 다양체 학습에서 곡면 위의 국소적 방향과 변화를 다룰 때 접공간 개념이 필수적으로 쓰인다.
로봇공학에서는 회전이라는 비선형 구조를 다루기 위해, 특정 지점(항등원)에서의 접공간을 이용해 각속도 같은 국소적 변화량을 선형적으로 표현한다는 뜻이다.
다양체 학습 기반 차원축소 연구에서는 데이터가 놓인 곡면의 국소 구조를 접공간으로 근사해 전역적인 저차원 표현을 얻는다는 뜻이다.
조금 더 깊게 보면
한 점에서의 접공간은 그 점을 지나는 매끄러운 곡선들의 순간 속도 벡터들을 모두 모은 집합으로 정의할 수 있으며, 다양체의 차원과 접공간의 차원은 항상 같습니다. 다양체 전체에 걸쳐 이 접공간들을 매끄럽게 이어 붙인 것을 접다발(tangent bundle)이라 부르는데, 이는 서로 다른 점의 접공간을 하나의 구조 안에서 함께 다룰 수 있게 해 줍니다. 리군처럼 특별한 구조를 가진 다양체에서는 항등원에서의 접공간이 리대수라는 대수 구조를 이루어, 군 자체의 복잡한 연산을 접공간 위의 비교적 단순한 선형 연산으로 다룰 수 있게 해 줍니다.
주의할 점
접공간은 다양체 위의 각 점마다 따로 정의되는 국소적인 개념이므로, 서로 다른 점의 접공간을 직접 비교하려면 별도의 방법이 필요하다.