랑주뱅 방정식 (Langevin Equation)
쉽게 풀면
브라운 운동을 하는 입자에 작용하는 힘을 둘로 나누어 봅시다. 하나는 움직임을 방해하는 매끄러운 마찰력이고, 다른 하나는 분자 충돌에서 오는 순간순간 제멋대로인 힘입니다. 랑주뱅 방정식은 뉴턴의 운동방정식에 이 두 힘을 함께 써 넣은 것입니다. 무작위한 항이 들어 있기 때문에 매번 답이 달라지고, 그래서 한 번의 궤적이 아니라 평균이나 분포를 계산하게 됩니다.
왜 중요한가
미시 분자를 일일이 따라가지 않고도 열적 요동의 효과를 담을 수 있어서, 콜로이드·고분자·세포 내 수송처럼 열 요동이 중요한 계를 다루는 표준 도구가 되었습니다. 분자동역학 시뮬레이션에서 계의 온도를 일정하게 유지하는 항온기 구현에도 같은 형식이 널리 쓰입니다. 또 마찰과 요동의 세기가 독립적이지 않고 요동-소산 정리로 묶인다는 사실을 가장 명확하게 보여 주는 방정식이기도 합니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
조금 더 깊게 보면
무작위 힘은 보통 평균이 0이고 서로 다른 시각 사이에 상관이 없는 백색잡음으로 모형화하며, 그 세기는 온도와 마찰 계수의 곱에 비례하도록 정해집니다. 이 조건이 있어야 계가 올바른 평형 분포에 도달하는데, 이것이 곧 요동-소산 관계입니다. 관성이 중요하지 않을 만큼 마찰이 큰 경우에는 가속도 항을 버린 과감쇠 랑주뱅 방정식을 쓰며, 이 형태가 생물물리 모형에서 특히 자주 쓰입니다. 같은 계를 개별 궤적이 아니라 확률분포의 시간 변화로 기술하면 포커-플랑크 방정식이 되며, 두 기술은 서로 동등합니다.
주의할 점
랑주뱅 방정식은 매질을 연속적인 배경으로 근사하므로, 입자 크기가 매질 분자와 비슷할 만큼 작아지면 타당성이 떨어집니다. 무작위 힘의 상관 시간이 0이 아니라 유한한 경우에는 '색잡음'으로 다뤄야 하며 결과가 달라집니다. 개별 궤적은 재현되지 않으므로 한 번의 시뮬레이션 결과를 결정론적 예측처럼 해석해서는 안 됩니다.