포커-플랑크 방정식 (Fokker-Planck Equation)
쉽게 풀면
무작위한 힘을 받는 입자는 매번 다른 경로를 그리므로, 어느 한 번의 궤적을 예측하는 것은 의미가 없습니다. 대신 "시간이 얼마 지났을 때 입자가 어느 위치에 있을 확률이 얼마인가"를 묻는 편이 유용합니다. 포커-플랑크 방정식은 바로 그 확률분포의 변화를 계산해 주는 식입니다. 분포를 한쪽으로 끌고 가는 힘의 효과와, 분포를 넓게 퍼뜨리는 무작위성의 효과 두 부분으로 이루어져 있습니다.
왜 중요한가
개별 궤적 대신 분포를 직접 다루기 때문에 정상 상태 분포나 장벽을 넘는 평균 시간처럼 실험과 비교할 수 있는 양을 곧바로 얻을 수 있습니다. 화학반응 속도 이론에서 에너지 장벽을 넘는 비율을 계산한 크레이머스 이론이 대표적인 응용입니다. 플라스마 물리, 레이저 이론, 개체군 동역학, 금융 모형 등 무작위성이 개입하는 거의 모든 분야에서 같은 형태의 방정식이 사용됩니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
조금 더 깊게 보면
방정식은 확률 흐름의 보존 형태로 쓰이며, 결정론적 힘에 의한 표류 항과 무작위성에 의한 확산 항으로 구성됩니다. 마찰이 매우 큰 과감쇠 극한에서는 위치만을 변수로 하는 간단한 형태가 되고 이를 스모루호프스키 방정식이라 부르기도 합니다. 랑주뱅 방정식과 같은 물리를 서로 다른 관점에서 기술하므로, 궤적이 필요하면 랑주뱅 쪽을, 분포가 필요하면 포커-플랑크 쪽을 택하면 됩니다. 확산 항이 위치에 따라 달라지는 경우에는 무작위 항을 해석하는 규약에 따라 결과가 달라질 수 있어 주의가 필요합니다.
주의할 점
이 방정식은 무작위 힘의 상관 시간이 매우 짧다는 가정 위에 세워지므로, 기억 효과가 뚜렷한 계에는 그대로 적용할 수 없습니다. 또 확률분포의 시간 변화를 다루는 식이지 개별 입자의 궤적 방정식이 아니라는 점을 혼동하지 않아야 합니다. 형태가 확산 방정식과 비슷하지만 표류 항이 있다는 점에서 단순 확산과는 구분됩니다.