브라운 운동 (Brownian Motion)
한 줄 정의: 연속시간에서 독립적인 정규 증분을 갖는 가장 기본적인 확률과정입니다.
쉽게 풀면
물 위의 꽃가루가 물 분자에 부딪혀 불규칙하게 떨리는 움직임에서 이름이 유래했습니다. 수학적으로는 시간에 따라 연속적으로 변하면서, 서로 겹치지 않는 구간의 변화량이 서로 독립이고 각각 정규분포를 따르며, 그 분산이 시간 길이에 비례하는 과정으로 정의됩니다. 이산적인 확률보행의 시간 간격을 무한히 잘게 쪼갠 극한이기도 합니다.
왜 중요한가
확률미분방정식의 기본 잡음원으로서 금융의 옵션 가격 모형, 물리의 확산 현상, 생물의 개체군 변동 모형이 모두 이 과정을 바탕으로 세워집니다. 확률해석학 전체가 브라운 운동의 성질을 분석하는 데서 출발한다고 해도 과언이 아닙니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"자산 가격의 로그값이 표류항을 가진 브라운 운동을 따른다고 가정하고 모형을 설정하였다."
조금 더 깊게 보면
브라운 운동의 경로는 거의 확실히 연속이지만 거의 모든 점에서 미분 불가능하며, 유한 시간 구간에서 총변동이 무한대입니다. 그래서 보통의 적분으로는 이 과정에 대한 적분을 정의할 수 없어 이토 적분이라는 새로운 적분이 필요하고, 여기서 미분의 연쇄법칙이 수정된 이토 공식이 나옵니다. 브라운 운동은 마팅게일이며 동시에 마르코프 성질을 가지고, 시간과 공간을 함께 축소해도 같은 분포를 갖는 자기유사성을 지닙니다.
주의할 점
물리학에서 말하는 브라운 운동이 실제 입자의 관측 현상이라면, 수학의 브라운 운동은 그것을 이상화한 위너 과정이라는 수학적 대상입니다. 또 이산적인 확률보행과 극한 관계에 있을 뿐 같은 것은 아닙니다.