정규분포의 표준화 (Standardization of Normal Distribution)
쉽게 풀면
세상에는 평균과 표준편차가 제각각인 정규분포가 무수히 많습니다. 키(평균 170, 표준편차 8)도 정규분포를 따르고, 시험 점수(평균 65, 표준편차 12)도 정규분포를 따를 수 있죠. 그런데 분포마다 표를 따로 만들어 확률을 계산하는 건 너무 번거롭습니다. 그래서 어떤 정규분포든 X에서 평균을 빼고 표준편차로 나누기만 하면(Z=(X-μ)/σ) 항상 평균 0, 표준편차 1인 "표준" 정규분포로 딱 맞춰지도록 만든 것이 표준화입니다. 이렇게 하면 딱 하나의 표준정규분포표만 있으면 어떤 정규분포 문제든 확률을 구할 수 있습니다.
왜 중요한가
표준화는 서로 다른 척도와 단위로 측정된 변수를 비교 가능하게 만들어 주기 때문에, 통계 분석 전반에서 확률 계산뿐 아니라 이상치 판별, 변수 간 상대적 크기 비교, 회귀분석의 표준화 계수 산출 등 다양한 목적으로 활용됩니다. Z점수 개념은 가설검정, 신뢰구간, 표준화 검사점수 해석 등 여러 통계 절차의 토대가 되어 논문 전반에서 반복적으로 등장합니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
이 문장은 평균과 표준편차가 특정 값으로 주어진 정규분포에서, 관심 있는 값(500ms)을 표준화해 Z값으로 바꾼 다음, 이미 잘 정리되어 있는 표준정규분포표를 이용해 확률을 손쉽게 구했다는 뜻입니다.
단위가 다른 여러 변수를 표준화해 하나의 비교 가능한 척도로 합산한 사례다.
표준화된 값을 이상치 탐지 기준으로 활용한 예다.
조금 더 깊게 보면
표준화로 얻어진 Z값은 해당 관측치가 평균으로부터 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타내며, 이를 통해 서로 다른 척도의 변수라도 상대적 위치를 직접 비교할 수 있게 됩니다. 회귀분석에서는 원자료 대신 표준화된 변수를 사용해 표준화 회귀계수(베타 계수)를 산출함으로써 서로 다른 단위를 가진 독립변수들의 상대적 영향력을 비교하기도 합니다. 다만 표준화 자체가 분포의 모양(비대칭성 등)을 바꾸지는 않는다는 점에 유의해야 합니다.
주의할 점
표준화는 자료의 값과 척도만 바꿀 뿐, 원래 분포가 정규분포가 아니었다면 표준화한다고 해서 정규분포가 되지는 않습니다. 즉 표준화를 적용해 표준정규분포표를 쓰려면, 애초에 원래 자료가 정규분포를 따른다는 전제가 성립해야 합니다. 계산된 Z값의 의미는 Z점수 문서에서 더 자세히 다룹니다.