적분 (integral)
쉽게 풀면
자동차가 매 순간 속도를 바꾸며 달렸다고 해봅시다. "총 몇 km를 이동했는가?"를 구하려면 매 순간의 속도를 시간에 따라 전부 더해야 합니다. 적분은 바로 이렇게 "순간순간의 값을 처음부터 끝까지 빠짐없이 다 더하는" 계산입니다. 그래프로 보면, 함수 그래프와 x축 사이에 생기는 넓이를 구하는 것이 적분입니다. 마치 계단 모양으로 잘게 썬 얇은 직사각형들을 무한히 많이 이어 붙여 정확한 넓이를 채워나가는 것과 비슷합니다.
왜 중요한가
적분은 순간의 변화율(미분)만으로는 알 수 없는 전체 누적량을 구하는 유일한 방법이기 때문에, 물리학의 일이나 에너지 계산, 공학의 신호 처리, 통계학의 확률 계산 등 정량적 분석을 다루는 거의 모든 분야에서 기본 도구로 쓰입니다. 논문에서 확률, 총량, 평균 등을 수식으로 정의할 때 적분 표기가 자주 등장하는 것도 이 때문입니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
이 문장은 "가능한 값들이 퍼져 있는 모양을 나타낸 그래프에서, 관심 있는 구간 아래의 넓이를 구해 그 구간에 속할 확률을 계산했다"는 뜻입니다. 이처럼 적분은 확률, 넓이, 누적 통계량 등을 구할 때 널리 쓰입니다.
약동학 연구에서는 시간에 따라 변하는 약물 농도를 적분해 얻은 곡선하면적을 통해 몸에 흡수된 약물의 총량을 나타내는 지표로 활용합니다.
조금 더 깊게 보면
적분에는 함수의 원시함수를 구해 계산하는 부정적분과, 특정 구간의 넓이를 숫자로 구하는 정적분이 있으며, 논문에서 실제 데이터를 다룰 때는 수식을 정확히 풀 수 없는 경우가 많아 사다리꼴 공식 등을 이용한 수치적분으로 근사값을 구하는 경우가 흔합니다. 앞서 언급한 곡선하면적(AUC) 계산도 실제로는 관측된 데이터 점들 사이를 수치적으로 적분하는 방식으로 이루어집니다.
주의할 점
적분은 미분의 반대 과정입니다 - 미분이 "그래프를 잘게 쪼개 순간 변화율을 구하는 것"이라면, 적분은 "그 변화들을 다시 모아 전체 누적량을 복원하는 것"입니다. 넓이라고 해서 항상 양수인 것은 아니며, 그래프가 x축 아래로 내려가면 그 부분은 음수로 계산되어 전체 넓이를 상쇄할 수 있다는 점도 주의해야 합니다.