하우스도르프 공간 (Hausdorff Space)
한 줄 정의: 서로 다른 두 점을 겹치지 않는 열린집합으로 떼어 놓을 수 있는 공간입니다.
쉽게 풀면
위상공간에서 서로 다른 두 점을 골랐을 때, 각각을 감싸면서 서로 만나지 않는 열린집합을 항상 찾을 수 있으면 이 공간을 하우스도르프 공간이라고 합니다. 점들이 충분히 잘 떨어져 있다는 뜻입니다. 우리가 익숙한 거리공간은 모두 이 조건을 만족합니다.
왜 중요한가
수열의 극한이 하나로 정해지려면 이 조건이 필요합니다. 하우스도르프가 아닌 공간에서는 한 수열이 서로 다른 여러 점으로 동시에 수렴할 수 있어 해석학의 기본 논법이 무너집니다. 그래서 다양체나 함수공간의 정의에는 대개 이 조건이 포함됩니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"해당 위상이 하우스도르프 조건을 만족하지 않으므로 극한의 유일성이 보장되지 않는다."
조금 더 깊게 보면
분리공리는 여러 단계로 나뉘며 하우스도르프 조건은 그중 T2에 해당합니다. 하우스도르프 공간에서는 유한집합이 항상 닫힌집합이고, 컴팩트 부분집합도 항상 닫힌집합이 됩니다. 이 때문에 컴팩트 하우스도르프 공간에서 정의된 연속 전단사는 자동으로 위상동형사상이 된다는 유용한 정리가 성립합니다. 모든 거리공간은 하우스도르프이지만, 대수기하학의 자리스키 위상처럼 그렇지 않은 중요한 예도 있습니다.
주의할 점
하우스도르프가 아니라고 해서 쓸모없는 공간은 아니며, 대수기하학에서는 오히려 표준적으로 사용됩니다. 또 이 조건은 점들 사이의 거리와는 무관하게 열린집합만으로 정의된다는 점에 유의해야 합니다.