기하분포 (Geometric Distribution)
쉽게 풀면
농구선수가 자유투를 성공할 확률이 30%라고 해봅시다. "몇 번째 시도에서 처음으로 성공할까?"를 확률로 나타낸 것이 기하분포입니다. 1번 만에 성공할 수도, 5번 만에 성공할 수도 있지만 각 경우의 확률은 다르게 계산됩니다. 이항분포가 "정해진 시행 횟수 중 성공 횟수"를 다룬다면, 기하분포는 "성공이 나올 때까지 걸리는 횟수"를 다룬다는 점이 다릅니다. 마케팅에서 "고객이 몇 번째 광고 노출 만에 처음 클릭하는가", 품질검사에서 "몇 번째 제품에서 처음 불량이 나오는가" 같은 문제에 쓰입니다.
왜 중요한가
기하분포는 "무기억성(memoryless property)"을 갖는 대표적인 이산 확률분포로, 대기시간이나 실패 반복 횟수를 다루는 신뢰성공학, 대기행렬이론, 강화학습의 탐색 전략 분석 등에서 기본 모형으로 활용됩니다. 또한 연속시간에서의 무기억성을 갖는 지수분포의 이산판으로도 이해되기 때문에, 확률과정론에서 다른 분포와의 관계를 설명하는 다리 역할을 합니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
이 문장은 반복 시행에서 "첫 성공까지의 횟수"라는 변수를 확률모형으로 다룰 때 기하분포를 이론적 근거로 사용했다는 뜻입니다.
네트워크 공학에서 반복 재시도 과정을 기하분포로 모형화해 성능 지표를 계산한 사례를 보여주는 문장입니다.
품질관리 분야에서 첫 불량 발생까지의 검사 횟수를 기하분포로 다룬 사례를 나타내는 문장입니다.
조금 더 깊게 보면
기하분포는 정의 방식에 따라 "첫 성공까지의 시행 횟수(1부터 시작)"를 다루는 형태와 "첫 성공 이전의 실패 횟수(0부터 시작)"를 다루는 형태 두 가지가 있어, 논문을 읽을 때 어느 정의를 쓰는지 확인할 필요가 있습니다. 기하분포의 핵심 성질인 무기억성은 "지금까지 몇 번 실패했든 다음 성공까지 남은 시행 횟수의 분포는 동일하다"는 뜻으로, 이는 연속형인 지수분포가 갖는 무기억성과 대응되며 대기시간 모형 사이의 이산-연속 관계를 이해하는 데 자주 언급됩니다.
주의할 점
기하분포는 매 시행의 성공 확률이 일정하고 각 시행이 서로 독립적이라는 가정이 필요합니다. 시행마다 확률이 달라지거나 이전 결과가 다음 시행에 영향을 준다면 기하분포를 그대로 적용할 수 없습니다. 정해진 횟수 안에서의 성공 개수를 다루고 싶다면 이항분포를 사용해야 합니다.