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일반화적률법 (Generalized Method of Moments)

통계
한 줄 정의: 데이터가 만족해야 할 몇 가지 수학적 조건(적률 조건)을 최대한 잘 맞추는 방향으로 모형의 계수를 추정하는 방법입니다.

쉽게 풀면

보통의 회귀분석(최소제곱법)은 "설명변수와 오차항이 서로 관련이 없다"는 전제가 깨지면 추정치가 왜곡됩니다. 예를 들어 소득이 소비에 미치는 영향을 볼 때, 소비도 거꾸로 소득에 영향을 줄 수 있다면(내생성 문제) 일반적인 회귀분석은 믿을 수 없는 결과를 냅니다.

GMM은 이런 상황에서 "오차항과는 상관없지만 설명변수와는 관련 있는" 별도의 정보(도구변수)를 여러 개 활용해서, 그 정보들이 이론적으로 성립해야 하는 조건(적률 조건)을 가장 잘 만족시키는 계수 값을 찾아냅니다. 여러 개의 자물쇠를 동시에 가장 잘 맞추는 열쇠를 찾는 것과 비슷합니다.

왜 중요한가

현실의 경제·금융·경영 데이터는 변수들이 서로 영향을 주고받는 경우가 많아, 최소제곱법의 기본 가정이 쉽게 깨집니다. GMM은 분포에 대한 강한 가정 없이도 이런 내생성 문제를 다룰 수 있는 유연한 추정 틀을 제공하기 때문에, 계량경제학뿐 아니라 자산가격결정모형 검증, 동적 패널 분석 등 폭넓은 실증연구에서 표준 도구로 쓰입니다. 최소제곱법이나 최대우도추정이 통하지 않는 상황에서 GMM은 대안적 추정 전략으로 자주 선택됩니다.

언제 쓰나

설명변수가 오차항과 상관되어 있거나(내생성), 모형에 맞는 우도함수를 세우기 어려울 때 ‘모형이 만족해야 할 조건(적률조건)’만으로 모수를 추정하는 방법입니다. 경제·금융·경영 논문에서 특히 흔합니다.

결과는 이렇게 읽는다

GMM 결과표에서는 계수 못지않게 진단 검정을 읽어야 합니다.

작은 예(모의 자료, n = 500, 계산 결과). 진짜 기울기가 2.0인 모형에서 x가 오차와 상관되어 있으면 OLS 기울기는 2.51로 위쪽으로 치우치고, 외생적 도구변수 z를 쓴 추정(도구변수가 1개일 때의 GMM)은 1.98로 참값에 가깝습니다.

논문에는 이렇게 보고한다

어떤 GMM(차분/시스템, 1단계/2단계)인지, 어떤 변수를 내생으로 보고 어떤 시차를 도구로 썼는지, 표준오차 보정(예: Windmeijer 보정)을 적었는지를 밝힙니다.

동태 패널모형은 2단계 시스템 GMM으로 추정하였다. 종속변수의 시차 2~4기를 도구변수로 사용하였으며, 표준오차는 Windmeijer(2005) 보정을 적용하였다. 도구변수의 타당성은 Hansen 검정(p = .31)으로, 오차항의 2차 자기상관은 AR(2) 검정(p = .46)으로 확인하였다. (형식을 보여 주려는 가상의 문장)

논문에서는 이렇게 쓰입니다

실제 논문에서

국내 학술지 논문에서 이 용어가 쓰인 문장을 그대로 옮겼습니다. 제목·학술지·연도와 원문 링크를 함께 적었습니다.

예시 문장

아래는 용어의 쓰임을 보여 주려고 만든 예시로, 실제 논문에서 가져온 문장이 아닙니다.

"설명변수의 내생성 문제를 해결하기 위해 일반화적률법(GMM)을 이용하여 동적 패널모형을 추정하였다."

이 문장은 시간에 따라 반복 측정된 패널 데이터에서, 과거 값이 현재 값에 영향을 주는 동시에 오차항과도 얽혀 있을 수 있는 문제를 GMM 기법(대표적으로 Arellano-Bond 추정법)으로 바로잡아 추정했다는 뜻입니다. 경제학·경영학의 동적 패널 분석 논문에서 자주 등장합니다.

"자산가격결정모형의 오일러 방정식이 함의하는 적률조건을 이용해 위험회피계수를 GMM으로 추정하였다."

금융경제학에서는 이론모형이 제시하는 수식(오일러 방정식 등)을 적률 조건으로 바꾸어, 분포를 가정하지 않고도 모형의 핵심 모수를 추정하는 데 GMM을 활용합니다.

"조작변수의 과대식별 여부를 검정한 뒤, 2단계 GMM 추정치를 최종 결과로 보고하였다."

도구변수를 여러 개 사용할 때는 이들이 모두 타당한지 검정하고, 효율성을 높인 2단계(two-step) GMM 절차로 최종 추정치를 산출하는 방식이 논문에서 흔히 보고됩니다.

조금 더 깊게 보면

GMM은 적률 조건의 개수가 추정할 모수의 개수보다 많을 때(과대식별) 가중행렬을 이용해 이 조건들을 최적으로 결합합니다. 이때 가중행렬을 한 번만 계산하는 1단계 GMM보다, 잔차의 분산·공분산 구조를 반영해 가중행렬을 다시 추정하는 2단계(혹은 반복) GMM이 더 효율적인 추정치를 줍니다. 또한 도구변수가 실제로 타당한지 확인하기 위해 과대식별 검정(Hansen's J-검정 등)을 함께 보고하는 것이 일반적인 관행입니다.

주의할 점

GMM은 도구변수를 얼마나 잘 고르느냐에 결과가 크게 좌우됩니다. 도구변수가 이론적 조건(외생성)을 만족하지 못하면 GMM 추정치 역시 편향될 수 있으므로, 도구변수의 타당성을 검정하는 절차(과대식별 검정 등)를 함께 보고하는 것이 일반적입니다.

헷갈리기 쉬운 용어

GMM은 여러 추정법을 한꺼번에 포함하는 틀이라 이름이 혼동되기 쉽습니다.

용어무엇인가GMM과의 관계
도구변수내생성을 풀기 위한 변수GMM이 쓰는 재료. 도구변수가 곧 적률조건의 원천
2단계최소제곱법도구변수를 쓰는 대표 추정법오차가 동분산일 때의 GMM과 같음
최대우도추정분포를 가정하고 우도를 최대화GMM은 분포 전체가 아니라 일부 조건만 가정
패널자료개체와 시간 정보를 함께 가진 자료동태 패널모형에서 GMM이 자주 쓰임
하우스만 검정고정효과와 확률효과 중 선택‘Hansen J’와 이름이 비슷하지만 다른 검정

‘J 검정(Hansen·Sargan)’은 도구변수가 타당한지, ‘하우스만 검정’은 추정량 간 차이가 체계적인지를 봅니다.

참고 문헌

  1. Hansen, L. P. (1982). Large sample properties of generalized method of moments estimators. Econometrica, 50(4), 1029–1054.
  2. Arellano, M., & Bond, S. (1991). Some tests of specification for panel data: Monte Carlo evidence and an application to employment equations. The Review of Economic Studies, 58(2), 277–297.
  3. Blundell, R., & Bond, S. (1998). Initial conditions and moment restrictions in dynamic panel data models. Journal of Econometrics, 87(1), 115–143.
  4. Roodman, D. (2009). How to do xtabond2: An introduction to difference and system GMM in Stata. The Stata Journal, 9(1), 86–136.
  5. Hall, A. R. (2005). Generalized Method of Moments. Oxford University Press.

표의 기준값은 위 문헌에 근거한 관례이며, 분야·학술지마다 다른 기준을 쓸 수 있습니다.

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