페르미 황금률 (Fermi's Golden Rule)
쉽게 풀면
빛을 쬐면 전자가 다른 에너지 준위로 뛰어오르는 일이 일어납니다. 그 일이 '얼마나 자주' 일어나는지를 알려 주는 것이 페르미 황금률입니다. 공식은 두 부분의 곱으로 이루어집니다. 하나는 처음 상태와 나중 상태가 자극을 통해 얼마나 잘 연결되는지를 나타내는 값이고, 다른 하나는 도착할 수 있는 나중 상태가 얼마나 많은지를 나타내는 상태밀도입니다. 즉 연결이 강하고 갈 곳이 많을수록 전이가 빨리 일어납니다.
왜 중요한가
빛의 흡수와 방출, 산란 단면적, 반도체에서 전자와 정공의 재결합 속도, 붕괴율 등 '속도'나 '비율'로 표현되는 양자 현상 대부분이 이 공식으로 계산됩니다. 분광선의 세기를 이론적으로 예측하거나 소자의 발광 효율을 추정할 때 출발점이 됩니다. 응집물질물리에서 상태밀도가 왜 그렇게 중요한 물리량인지도 이 공식이 잘 보여 줍니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
조금 더 깊게 보면
공식은 시간에 의존하는 1차 섭동론에서, 자극을 충분히 오래 가한 뒤 전이 확률이 시간에 비례해 증가하는 영역을 취해 유도됩니다. 전이가 일어나려면 에너지가 보존되어야 하므로 최종 상태는 에너지 보존을 만족하는 상태들로 제한되며, 여기서 상태밀도 인자가 등장합니다. 전이 행렬 요소가 대칭성 때문에 0이 되면 전이가 금지되는데, 이것이 선택규칙의 기원입니다. 최종 상태가 연속적인 띠를 이루거나 충분히 촘촘해야 한다는 조건이 있어서, 고립된 두 준위 사이의 짧은 시간 거동에는 적용되지 않습니다.
주의할 점
이 공식은 자극이 약하고 최종 상태가 연속적이며 관측 시간이 적당히 긴 경우에만 성립하는 1차 근사입니다. 결합이 강하면 전이가 시간에 비례해 늘어나는 대신 라비 진동처럼 왕복하는 거동을 보입니다. 또 '황금률'이라는 이름과 달리 만능 공식이 아니며, 적용 조건을 확인하지 않고 쓰면 속도를 크게 잘못 추정할 수 있습니다.