크래머 V (Cramér's V)
쉽게 풀면
성별과 선호하는 전공(문과/이과/예체능)을 조사해서 카이제곱검정을 했더니 p < 0.05가 나왔다고 해봅시다. 이 결과는 "성별과 전공 선호가 서로 관련이 있다"는 것만 말해줄 뿐, "얼마나 강하게" 관련이 있는지는 알려주지 않습니다. 표본이 아주 크면 아주 약한 연관성도 유의하게 나오기 때문입니다.
크래머 V는 바로 이 "관련의 세기"를 0(전혀 관련 없음)부터 1(완벽하게 관련됨) 사이의 숫자 하나로 요약해 줍니다. 카이제곱값을 표본크기와 표의 크기로 나누어 표준화한 값이라고 생각하면 됩니다.
왜 중요한가
크래머 V는 카이제곱검정의 유의성만으로는 알 수 없는 연관성의 실질적인 크기를 보여주기 때문에, 사회과학·의학·마케팅 등 범주형 변수를 다루는 다양한 분야의 논문에서 효과크기 보고 관행이 강조되면서 함께 제시되는 경우가 늘고 있습니다. 표본이 매우 큰 연구에서는 사소한 연관성도 통계적으로 유의하게 나올 수 있기 때문에, 결과의 실질적 의미를 판단하는 데 크래머 V 같은 지표가 필요합니다.
계산과 범위
크래머 V는 카이제곱 통계량을 표본 크기와 표 크기로 표준화해 연관성의 세기를 0~1로 나타낸 값입니다(Cramér, 1946).
V = √( χ² / ( n · min(r − 1, c − 1) ) ) (n은 전체 표본 수, r·c는 표의 행·열 수)
- 범위: 0(연관 없음)~1(완전한 연관). 방향(양/음)은 없습니다. 이름 붙인 범주(예: 전공)에는 크고 작음의 순서가 없기 때문입니다.
- 2×2 표에서는 min(r − 1, c − 1) = 1이므로 V = |φ|(파이계수)입니다.
- 카이제곱 검정은 표본이 커지면 사소한 연관도 유의하게 만들지만, V는 n으로 나누므로 표본 크기와 무관하게 연관의 크기를 보여 줍니다.
작은 예(가상의 2×3 표, 성별 × 선호 3가지, n = 140): 행 1은 30, 20, 10, 행 2는 15, 25, 40입니다. χ²(2) = 21.13, p < .001이고 V = √(21.13 / (140 × 1)) = .388입니다. 반대로 행 1이 5,200·4,800, 행 2가 5,000·5,000인 2×2 표(n = 20,000)는 χ²(1) = 8.00, p = .005로 유의하지만 V = .020으로 연관이 거의 없습니다.
해석 기준
Cohen(1988)은 효과크기 w에 대해 작은 .10, 중간 .30, 큰 .50을 제안했고, 크래머 V에서는 이를 √(min(r − 1, c − 1))로 나눈 값을 기준으로 삼습니다. 표 크기에 따라 기준이 달라집니다.
| min(r − 1, c − 1) | 작음 | 중간 | 큼 |
|---|---|---|---|
| 1 (2×2, 2×k) | .10 | .30 | .50 |
| 2 (3×3 등) | .07 | .21 | .35 |
| 3 | .06 | .17 | .29 |
위 예의 .388은 min이 1인 표이므로 “중간과 큼 사이”로 읽습니다. 이 기준은 Cohen이 편의상 제시한 관례이며 분야에 따라 적절한 크기는 다릅니다.
- V는 표본이 작을 때 연관이 없어도 0보다 크게 나오는 경향이 있습니다. 예를 들어 서로 독립인 2×3 표를 n = 30으로 반복해서 만들면 V의 평균이 약 .24입니다(컴퓨터 모의실험, 2,000회). 편향을 줄인 보정식이 제안되어 있습니다(Bergsma, 2013).
- V는 연관의 세기이지 방향이나 인과가 아닙니다. 어느 칸이 기대보다 많은지는 표준화 잔차로 따로 살펴봅니다.
보고 방법
카이제곱 검정의 결과와 함께 적고, 가능하면 신뢰구간도 제시합니다. (수치는 위 가상의 예 기준입니다.)
성별과 선호 유형은 유의한 연관이 있었으며(χ²(2, N = 140) = 21.13, p < .001), 연관의 크기는 중간 이상이었다(Cramér의 V = .39).
- 자유도와 표본 수 N을 함께 적습니다.
- V의 해석 기준을 쓸 때는 표 크기에 맞는 기준(Cohen, 1988)을 인용합니다. 3×3 이상인 표에 .1/.3/.5를 그대로 적용하지 않습니다.
- 기대빈도가 5 미만인 칸이 많으면 카이제곱 근사가 부정확하므로 정확검정을 쓰고 그 사실을 적습니다.
- 2×2 표는 V 대신 오즈비와 신뢰구간을 보고하면 방향까지 알려 줍니다(오즈비).
논문에서는 이렇게 쓰입니다
실제 논문에서
국내 학술지 논문에서 이 용어가 쓰인 문장을 그대로 옮겼습니다. 제목·학술지·연도와 원문 링크를 함께 적었습니다.
“본 연구대상은 유치원과 어린이집을 다니는 만 4, 5, 6세의 어머니 387명이었으며, 수집된 자료는 평균, 표준편차, χ², Cramer’s V계수, 탐색적 요인분석, 확인적 요인분석, 상관관계, Cronbach’s α를 사용하여 개발된 척도의 타당도와 신뢰도를 검증하였다.”
부모의 수학적 태도 척도 타당화 연구, 인간발달연구, 2016 · KCI 한국학술지인용색인 · 원문 보기 ↗
“평균, 표준편차, 카이검증, Cramer’s V, 탐색적 및 확인적 요인분석, 적률상관관계, 그리고 Cronbach’s 가 산출되었다.”
유아교사의 수학적 상호작용 척도 타당화 연구, 유아교육·보육복지연구, 2022 · KCI 한국학술지인용색인 · 원문 보기 ↗
예시 문장
아래는 용어의 쓰임을 보여 주려고 만든 예시로, 실제 논문에서 가져온 문장이 아닙니다.
이 문장은 두 범주형 변수 간의 관계가 통계적으로 유의할 뿐 아니라, 그 관계의 강도가 (통상적인 해석 기준으로) 약함과 강함의 중간 정도라는 것을 함께 보고하고 있습니다.
마케팅 조사에서 표본 크기가 큰 경우 통계적 유의성과 실질적 연관성의 크기가 다르게 해석될 수 있음을 보여주는 예문입니다.
조금 더 깊게 보면
크래머 V는 2×2 표에서 쓰이는 파이계수(phi coefficient)를 행과 열의 범주 수가 2개보다 많은 일반적인 분할표로 확장한 지표로, 카이제곱 통계량을 표본크기와 (행 또는 열 범주 수 중 작은 값에서 1을 뺀 값)으로 나누어 표준화합니다. 값의 해석 기준(예: .1은 약함, .3은 중간, .5 이상은 강함)은 절대적인 것이 아니라 관행적으로 통용되는 대략적인 기준이며, 분할표의 크기(자유도)에 따라 같은 값이라도 의미가 달라질 수 있다는 점에 유의해야 합니다.
주의할 점
크래머 V는 카이제곱검정과 세트로 보고되는 경우가 많지만, 두 값은 서로 다른 질문에 답합니다. 카이제곱검정의 p-value는 "우연이 아니라고 볼 수 있는가"를 판단하고, 크래머 V는 "그 관련성이 실질적으로 의미 있는 크기인가"를 판단합니다. p-value만 보고하고 크래머 V 같은 효과크기 지표를 생략하면, 표본이 커서 유의하게 나왔을 뿐인 사소한 연관성을 과장해서 해석할 위험이 있습니다.
헷갈리기 쉬운 용어
| 용어 | 어떤 변수? | 범위·특징 |
|---|---|---|
| 크래머 V | 범주형 × 범주형(표 크기 제한 없음) | 0~1, 방향 없음 |
| 파이계수(φ) | 2×2 표 | −1~1(부호 해석 가능). 2×2에서 |φ| = V |
| 카이제곱 검정 | 범주형 × 범주형 | 연관의 유무(p값). 크기는 알려 주지 않음 |
| 오즈비 | 2×2 표 | 한 범주가 다른 범주와 비교해 몇 배인지. 방향 있음 |
| 효과크기 | — | 크래머 V는 범주형 변수의 효과크기 중 하나 |
참고 문헌
- Cramér, H. (1946). Mathematical Methods of Statistics. Princeton University Press.
- Cohen, J. (1988). Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum.
- Agresti, A. (2013). Categorical Data Analysis (3rd ed.). Wiley.
- Bergsma, W. (2013). A bias-correction for Cramér’s V and Tschuprow’s T. Journal of the Korean Statistical Society, 42(3), 323–328.
표의 기준값은 위 문헌에 근거한 관례이며, 분야·학술지마다 다른 기준을 쓸 수 있습니다.