위샤트 분포 (Wishart Distribution)
한 줄 정의: 표본 공분산행렬이 따르는 분포로, 카이제곱분포를 행렬로 확장한 것입니다.
쉽게 풀면
다변량 정규분포에서 표본을 뽑아 공분산행렬을 계산하면 그 값도 표본마다 달라집니다. 위샤트 분포는 이렇게 얻어지는 행렬이 어떤 확률로 나타나는지를 기술합니다. 변수가 하나뿐이면 카이제곱분포와 같아집니다.
왜 중요한가
다변량 분석의 검정통계량 분포를 유도하는 이론적 토대이자, 베이지안 다변량 모형에서 공분산행렬의 사전분포로 쓰입니다. 공분산행렬을 추정하고 그 불확실성을 다루는 모든 논의의 출발점이 됩니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"공분산행렬의 사전분포로 자유도 p+1의 역위샤트 분포를 설정하였다."
행렬 전체에 대한 사전 믿음을 표준적인 켤레 형태로 지정했다는 뜻입니다.
조금 더 깊게 보면
모수는 자유도와 척도행렬이며, 자유도가 변수 개수보다 작으면 생성된 행렬이 특이해져 역행렬을 구할 수 없습니다. 공분산행렬의 역행렬인 정밀도행렬에 위샤트를 두면 다변량 정규 모형에서 켤레성이 성립해 사후분포도 위샤트가 되고, 공분산행렬 자체에는 역위샤트를 둡니다. 역위샤트는 분산과 상관에 대한 사전 믿음을 따로 조절하기 어렵다는 비판이 있어, 최근에는 분리 전략이나 LKJ 사전분포가 대안으로 쓰입니다.
주의할 점
위샤트 분포는 개별 값이 아니라 행렬을 값으로 갖는 분포라는 점에서 앞의 분포들과 성격이 다릅니다. 공분산행렬에 쓸 때는 위샤트가 아니라 역위샤트라는 점을 혼동하지 않아야 합니다.