윌크스 정리 (Wilks' Theorem)
쉽게 풀면
우도비 검정을 할 때마다 매번 정확한 표집분포를 계산하는 것은 매우 어려운데, 윌크스 정리는 표본이 충분히 크다면 이 검정통계량(로그우도비에 -2를 곱한 값)이 항상 카이제곱분포라는 잘 알려진 분포에 근사적으로 따른다는 것을 보장해준다. 이 정리 덕분에 복잡한 모형 비교에서도 카이제곱분포표만 있으면 손쉽게 p값을 계산하고 유의성을 판단할 수 있게 된다. 카이제곱분포의 자유도는 두 모형이 가진 모수 개수의 차이와 같다.
왜 중요한가
우도비 검정은 회귀모형 비교, 구조방정식모형, 유전체학의 연관성 검정 등 통계학 전반에서 널리 쓰이는데, 윌크스 정리는 이 검정의 p값을 계산할 수 있는 이론적 토대를 제공합니다. 복잡한 모형의 정확한 표집분포를 유도하기 어려운 상황에서도 카이제곱분포라는 표준적인 분포로 근사할 수 있게 해주므로, 다양한 분야의 논문에서 모형 비교의 통계적 근거로 거의 당연하게 인용됩니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
우도비 검정의 p값을 카이제곱분포를 이용해 근사적으로 계산하는 이론적 근거로 사용된다.
이 문장은 심리측정학이나 구조방정식모형 논문에서 흔히 등장하며, 변수를 더 포함한 복잡한 모형이 단순한 모형보다 유의하게 더 나은지를 판단하는 절차를 보여줍니다.
이 문장은 유전체학 논문에서 흔히 등장하며, 대규모 검정을 반복적으로 수행할 때 카이제곱 근사가 계산의 표준적인 근거로 쓰임을 보여줍니다.
조금 더 깊게 보면
윌크스 정리가 성립하려면 비교하는 두 모형이 서로 포함관계(nested)에 있어야 하고, 참값이 모수공간의 경계가 아닌 내부에 위치해야 하는 등 몇 가지 정칙조건이 필요합니다. 분산 성분이 0인지 검정하는 경우처럼 참값이 모수공간의 경계에 놓이는 상황에서는 통상적인 카이제곱 근사가 깨질 수 있어, 이런 경우에는 혼합 카이제곱분포 같은 별도의 근사 방법이 사용되기도 합니다. 표본 크기가 충분히 크지 않을 때도 근사의 정확도가 떨어질 수 있어, 부트스트랩 등으로 근사를 보완하는 연구도 있습니다.
주의할 점
윌크스 정리는 표본이 충분히 크고 모수가 모수공간의 경계에 있지 않다는 정칙조건을 요구하므로, 이 조건이 깨지면(예: 분산 성분이 0인지 검정하는 경우) 카이제곱 근사가 성립하지 않을 수 있다.