비리얼 정리 (Virial Theorem)
쉽게 풀면
중력으로 서로 묶여 오랫동안 안정적으로 유지되는 별 무리를 생각해 봅시다. 개별 별의 속도와 위치는 계속 변하지만, 아주 긴 시간 동안 평균을 내면 운동에너지와 퍼텐셜에너지의 비율이 일정한 값에 수렴합니다. 중력처럼 거리의 제곱에 반비례하는 힘의 경우, 평균 운동에너지는 평균 퍼텐셜에너지 크기의 딱 절반이 됩니다. 이 관계를 이용하면 계의 속도만 재고도 질량을 추정할 수 있습니다.
왜 중요한가
천체물리학에서 은하단이나 성단의 속도 분산을 관측해 전체 질량을 추정하는 표준 도구이고, 이렇게 얻은 질량이 눈에 보이는 별의 질량보다 훨씬 크다는 발견이 암흑물질 논의의 출발점이 되었습니다. 통계역학과 분자동역학 시뮬레이션에서는 계가 평형에 도달했는지 점검하는 기준으로 쓰입니다. 원자·분자 계산에서도 결과의 신뢰성을 검증하는 간단한 체크 항목으로 활용됩니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
조금 더 깊게 보면
정리는 위치와 운동량의 곱을 모든 입자에 대해 더한 양이 장시간 평균에서 변하지 않는다는 조건에서 유도됩니다. 퍼텐셜이 거리의 n제곱에 비례하는 경우 평균 운동에너지는 평균 퍼텐셜에너지의 n/2배가 되고, 중력이나 정전기력처럼 n이 -1이면 잘 알려진 2:1 관계가 나옵니다. 이로부터 중력으로 묶인 계의 총에너지가 평균 운동에너지의 음수와 같다는 결과가 따라오며, 별이 수축하면서 오히려 뜨거워지는 현상도 여기서 설명됩니다. 통계역학 버전에서는 압력과 입자 간 힘을 잇는 관계식으로 확장되어 상태방정식 계산에 쓰입니다.
주의할 점
장시간 평균에 대한 관계이므로, 병합 중인 은하단처럼 아직 평형에 이르지 못한 계에 적용하면 질량이 크게 어긋날 수 있습니다. 또 계가 공간적으로 유한하고 묶여 있어야 성립하므로, 흩어지고 있는 계에는 쓸 수 없습니다. 기체 상태방정식에 나오는 '비리얼 전개'의 비리얼 계수와는 어원만 같을 뿐 서로 다른 개념이므로 혼동하지 않아야 합니다.