삼각함수의 기본공식 (Trigonometric Identities)
쉽게 풀면
단위원(반지름이 1인 원) 위의 한 점을 생각해보면, 그 점의 x좌표가 cosθ, y좌표가 sinθ입니다. 그런데 이 점은 언제나 원 위에 있으므로 피타고라스 정리에 의해 x²+y²=1이 성립할 수밖에 없고, 그래서 sin²θ+cos²θ=1이라는 식이 항상 참이 됩니다. 즉 삼각함수의 기본공식은 새로운 규칙이 아니라, "원 위의 점은 원점에서 항상 거리가 1이다"라는 아주 단순한 사실을 다르게 표현한 것뿐입니다. 이 덕분에 sinθ 값만 알아도 cosθ나 tanθ 값을 따로 재지 않고 계산으로 구할 수 있습니다.
왜 중요한가
삼각함수 기본공식은 복잡한 식을 더 단순한 형태로 정리하거나, 서로 다른 변수로 표현된 식들을 하나의 관계로 연결하는 데 필수적인 도구이기 때문에, 역학·신호처리·전자기학 등 삼각함수가 등장하는 거의 모든 공학·자연과학 논문의 수식 전개 과정에서 자연스럽게 활용됩니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
이 문장은 서로 다른 두 개의 삼각함수 값으로 표현된 식을, sin²θ+cos²θ=1 같은 관계식을 대입해서 변수 하나짜리 식으로 단순화했다는 뜻입니다. 신호처리나 역학 논문에서 복잡한 삼각함수 식을 정리할 때 자주 쓰이는 방법입니다.
경사면 위 물체의 운동을 다루는 역학 문제에서 항등식을 활용해 식을 정리하는 예문이다.
광학·파동물리학에서 삼각함수의 합차공식을 이용해 간섭 현상을 해석하는 예문이다.
조금 더 깊게 보면
기본공식에는 sin²θ+cos²θ=1과 같은 피타고라스 항등식 외에도, 두 각의 합과 차를 다루는 덧셈정리, 이를 확장한 배각공식·반각공식, 합을 곱으로 또는 곱을 합으로 바꾸는 공식 등이 있습니다. 이러한 항등식들은 서로 유도 관계로 연결되어 있어, 몇 가지 기본 공식만 기억하면 나머지는 대수적으로 이끌어낼 수 있습니다.
주의할 점
sin²θ라는 표기는 (sinθ)²를 줄여 쓴 것이지, sin(θ²)을 뜻하는 것이 아닙니다. 이 표기를 혼동하면 피타고라스의 정리에서 비롯된 관계식을 완전히 다른 식으로 잘못 계산하게 되므로, 제곱이 각(θ)이 아니라 함숫값(sinθ)에 붙는다는 점을 항상 기억해야 합니다.