스펙트럼 위험측도 (Spectral Risk Measure)

한 줄 정의: 손실분포의 분위수에 비감소 가중함수를 씌워 평균한 위험측도입니다.

쉽게 풀면

위험을 하나의 숫자로 요약할 때, 손실이 클수록 더 무겁게 쳐 주고 싶을 수 있습니다. 스펙트럼 위험측도는 손실분포의 분위수마다 가중치를 주되 그 가중치가 꼬리로 갈수록 커지도록 정한 뒤 평균을 낸 값입니다. 가중치를 특정 구간에 균등하게 몰아주면 조건부꼬리기댓값이 되고, 한 점에만 주면 VaR이 됩니다. 즉 위험회피 성향을 가중함수로 직접 표현하는 방식입니다.

왜 중요한가

가중함수가 비감소이고 합이 1이면 자동으로 일관위험측도가 되므로, 자본 산정에 쓸 수 있는 위험측도를 체계적으로 만들어 내는 틀이 됩니다. 규제자본과 경제적 자본 산정에서 측도 선택의 근거를 논할 때 자주 인용됩니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

"지수형 가중함수를 갖는 스펙트럼 위험측도를 적용해 손해보험 포트폴리오의 경제적 자본을 산출하고 조건부꼬리기댓값 기준 결과와 비교하였다."

꼬리 손실에 점점 더 큰 가중치를 주는 방식으로 필요자본을 계산해, 기존 방식과 얼마나 차이 나는지 살펴봤다는 뜻입니다.

조금 더 깊게 보면

측도는 0과 1 사이 구간에서 정의된 비감소 가중함수와 분위수함수의 적분으로 정의되며, 가중함수의 비감소성이 열등분산 순서와의 정합성을 보장합니다. 이 성질 덕분에 스펙트럼 측도는 왜곡위험측도 가운데 오목한 왜곡함수를 갖는 부분집합과 대응됩니다. 가중함수 모수는 의사결정자의 위험회피 정도로 해석되어 민감도 분석의 대상이 됩니다.

주의할 점

가중함수가 비감소가 아니면 준가법성이 깨져 일관위험측도가 되지 않으므로, 임의의 가중치를 붙인 분위수 평균을 모두 스펙트럼 측도라고 부르면 안 됩니다. VaR은 가중치가 한 점에 몰린 극단적 경우여서 일관성이 성립하지 않습니다.