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형상함수 (Shape Function)

쉽게 풀면

유한요소해석은 구조를 작은 요소로 나눈 뒤 절점에서의 변위만 미지수로 둡니다. 그런데 요소 안쪽의 변위도 알아야 변형률과 응력을 계산할 수 있습니다. 형상함수는 '이 절점의 값이 요소 안 각 지점에 얼마나 반영되는가'를 정해 주는 가중치 함수입니다. 자기 절점에서는 1, 다른 절점에서는 0이 되도록 만듭니다.

왜 중요한가

형상함수의 차수가 요소의 정확도와 계산량을 동시에 결정하기 때문에, 요소 종류 선택과 메시 설계의 근거가 됩니다. 유한요소 결과를 해석하거나 요소가 지나치게 뻣뻣해지는 문제를 논할 때 항상 등장하는 개념입니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

요소의 보간 차수를 높여 더 적은 계산으로 정확한 응력을 얻었다는 뜻입니다.

조금 더 깊게 보면

형상함수의 합은 어느 지점에서나 1이 되어야 하며, 이 성질이 강체 운동을 오차 없이 표현하는 근거가 됩니다. 등매개변수 요소는 형상을 표현하는 함수와 변위를 보간하는 함수를 같게 두어 곡면 경계를 자연스럽게 다룹니다. 1차(선형) 요소는 요소 내 변형률이 일정해 굽힘 문제에서 과도하게 뻣뻣해지는 전단 잠김이 생길 수 있고, 2차 요소나 감차적분으로 이를 완화합니다. 형상함수의 미분으로 만든 행렬이 변형률-변위 관계를 나타내는 B 행렬입니다.

주의할 점

형상함수는 물체의 기하 형상이 아니라 값의 분포를 나타내는 수학 함수이므로 이름 때문에 오해하기 쉽습니다. 레일리-리츠법의 가정 함수가 구조 전체에 대해 정의된다면, 형상함수는 요소 하나에 국한해 정의된다는 점이 다릅니다.

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