벡터의 삼중곱 (Scalar Triple Product)
쉽게 풀면
벡터 두 개를 외적(cross product)하면 그 둘이 만드는 평행사변형에 수직인 새로운 벡터가 나오고, 그 길이는 평행사변형의 넓이와 같습니다. 여기서 한 걸음 더 나아가, 이 결과 벡터를 세 번째 벡터와 내적(dot product)하면 숫자 하나가 나오는데, 이것이 바로 벡터의 삼중곱(스칼라 삼중곱)입니다. 기하학적으로 이 값의 절댓값은 세 벡터를 모서리로 하는 평행육면체(기울어진 상자)의 부피와 정확히 일치합니다. 계산은 세 벡터의 성분을 행으로 쌓은 3×3 행렬의 행렬식을 구하는 것과 같아서, a·(b×c) = det([a b c])로도 표현할 수 있습니다. 세 벡터의 순서를 순환시켜도(a→b→c→a) 값이 같지만, 두 벡터의 순서를 바꾸면 부호가 반대가 됩니다.
왜 중요한가
스칼라 삼중곱은 부피 계산과 공면 여부 판정이라는 두 가지 문제를 동시에 다루는 도구이기 때문에, 3차원 공간을 다루는 물리학, 결정학, 컴퓨터 그래픽스 논문에서 계산의 기초 도구로 자주 활용됩니다. 특히 세 벡터의 순서를 바꾸면 부호가 달라지는 성질 덕분에 공간의 방향성(오른손 좌표계인지 왼손 좌표계인지)을 판별하는 데도 쓰이기 때문에, 좌표계 정의가 중요한 시뮬레이션이나 렌더링 연구에서도 등장합니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
이 문장은 "결정 구조를 이루는 세 기저벡터가 만드는 평행육면체 모양의 최소 반복 단위의 부피를, 삼중곱 공식으로 직접 구했다"는 뜻입니다. 벡터의 삼중곱은 결정학, 유체역학, 전자기학, 컴퓨터 그래픽스 등에서 부피 계산이나 세 벡터의 공면(같은 평면 위에 있는지) 여부를 판정할 때 자주 쓰입니다.
컴퓨터 그래픽스에서는 부피 계산 외에도 삼중곱의 부호를 이용해 표면의 방향(법선 방향)을 판정하는 용도로 활용된다는 것을 보여줍니다.
조금 더 깊게 보면
스칼라 삼중곱은 세 벡터의 순서를 어떤 조합으로 배치하느냐에 따라 값이 그대로거나(순환 순서) 부호만 바뀌는(두 벡터 교환) 성질을 가지고 있어, 이를 이용해 세 벡터가 이루는 좌표계가 오른손 좌표계인지 왼손 좌표계인지도 판별할 수 있습니다. 물리학에서는 이 성질이 각운동량이나 토크처럼 방향성이 중요한 물리량을 다룰 때 자연스럽게 연결되며, 유체역학에서는 속도장의 회전(curl)과 함께 소용돌이도(vorticity) 관련 계산에서도 유사한 벡터 연산이 활용됩니다.
주의할 점
삼중곱의 값이 0이라는 것은 세 벡터가 만드는 평행육면체의 부피가 0이라는 뜻이며, 이는 세 벡터가 한 평면 위에 놓여 있다는(선형종속이라는) 것을 의미합니다. 또한 벡터의 삼중곱은 항상 스칼라(숫자) 값이라는 점에서, 벡터 결과를 내는 벡터의 삼중곱(vector triple product, a×(b×c))과 혼동하지 않아야 합니다.