확률변수의 엄밀한 정의 (Formal Definition of a Random Variable)
쉽게 풀면
일상적으로는 확률변수를 '무작위로 나오는 값' 정도로 이해하지만, 엄밀하게는 표본공간의 각 결과에 숫자 하나를 대응시키는 '함수'로 정의된다. 예를 들어 동전 던지기의 결과(앞면, 뒷면)라는 추상적인 사건에 1과 0이라는 숫자를 대응시키는 규칙이 바로 확률변수다. 이렇게 함수로 정의하면 확률변수에 대해 기댓값이나 분산 같은 수학적 연산을 엄밀하게 다룰 수 있게 된다.
왜 중요한가
확률변수를 함수로 엄밀하게 정의하는 작업은 이후 기댓값, 분산, 극한정리 같은 모든 확률론적 결과를 수학적으로 증명 가능하게 만드는 토대입니다. 이 엄밀한 틀이 없다면 확률변수를 더하거나 극한을 취하는 등의 조작이 어떤 조건에서 정당한지를 보장할 수 없습니다. 이 때문에 확률론, 통계학, 계량경제학처럼 정리를 증명하는 이론적 논문에서는 본론에 들어가기 전 확률변수의 정의를 정확히 명시하는 것이 관례로 자리 잡고 있습니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
통계학과 확률론 논문에서 확률변수의 엄밀한 정의는 이후 전개되는 모든 수학적 논증의 출발점이 된다.
시간에 따라 변하는 확률적 현상을 다룰 때도, 각 시점의 값이 확률변수의 엄밀한 정의를 만족해야 한다는 점을 먼저 확인했다는 뜻입니다.
조금 더 깊게 보면
확률변수가 '측정 가능한 함수'여야 한다는 조건은, 그 함수를 이용해 "X가 특정 범위의 값을 가질 확률"을 시그마 대수 위에서 모순 없이 정의할 수 있어야 한다는 뜻입니다. 이 조건 덕분에 확률변수의 분포함수나 밀도함수를 다룰 때 적분과 극한 연산이 수학적으로 정당화됩니다. 여러 확률변수를 동시에 다루는 확률과정이나 마팅게일 같은 개념도 결국 이 측정 가능성 조건 위에 세워진 것으로, 이론 논문에서는 이 부분을 전제 조건으로 명시하는 경우가 많습니다.
주의할 점
확률변수가 되려면 임의의 함수가 아니라 시그마 대수에 대해 측정 가능한 함수여야 한다는 기술적 조건이 필요하다.