확률의 덧셈정리와 곱셈정리 (Addition and Multiplication Rule of Probability)
쉽게 풀면
주사위를 한 번 던져서 "1이 나오거나 2가 나올 확률"을 구하고 싶다면, 두 사건이 겹치지 않으므로 각각의 확률을 그냥 더하면 됩니다(1/6 + 1/6 = 2/6). 이것이 덧셈정리입니다. 다만 두 사건이 겹칠 수도 있다면 겹치는 부분을 한 번 빼줘야 하는데(A 또는 B의 확률 = A의 확률 + B의 확률 − A와 B가 동시에 일어날 확률), 이 보정을 안 하면 겹치는 부분을 두 번 세는 실수를 하게 됩니다. 반대로 "동전을 던져 앞면이 나오고, 동시에 주사위를 던져 6이 나올 확률"처럼 "이것도 일어나고 저것도 일어나는" 상황은 두 확률을 곱해서 구합니다. 이것이 곱셈정리이며, 두 사건이 독립사건과 종속사건이 아니라면 조건부확률을 곱해야 정확한 값이 나옵니다.
왜 중요한가
덧셈정리와 곱셈정리는 복잡한 확률 모형이나 통계적 검정을 이해하기 위한 가장 기초적인 building block이기 때문에, 여러 사건이 얽힌 위험을 계산하는 거의 모든 분야의 논문에서 암묵적으로 전제됩니다. 예를 들어 여러 진단검사를 조합했을 때의 오탐률, 여러 부품이 동시에 고장 날 확률, 다단계 실험에서 특정 결과가 나올 확률 등을 계산할 때 이 두 정리가 기본 뼈대를 이룹니다. 베이즈 정리나 다중검정 보정 같은 더 복잡한 통계 기법도 결국 이 두 정리의 확장이라는 점에서 중요성이 큽니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
여러 검사나 지표를 함께 고려할 때, "적어도 하나"라는 표현은 덧셈정리로, "모두 함께"라는 표현은 곱셈정리로 계산한다는 점을 논문에서 명시하는 경우가 많습니다.
신뢰성공학 분야에서는 여러 부품이나 시스템이 동시에 정상 작동해야 하는 상황을 곱셈정리로 모델링해 전체 시스템의 안정성을 평가한다.
역학 연구에서는 여러 위험요인에 대한 노출 확률을 종합할 때 덧셈정리를 적용하되, 요인 간 상관관계를 함께 고려해야 한다는 점을 강조한다.
조금 더 깊게 보면
덧셈정리의 일반형은 두 사건 이상으로 확장될 때 포함-배제 원리(inclusion-exclusion principle)로 발전하며, 겹치는 부분을 정확히 빼고 더하는 절차가 사건의 개수가 늘어날수록 복잡해집니다. 곱셈정리 역시 사건이 독립이 아닌 경우에는 조건부확률을 순차적으로 곱하는 연쇄법칙(chain rule) 형태로 일반화되며, 이는 베이즈 정리나 마르코프 연쇄 같은 더 발전된 확률 모형의 기초가 됩니다. 논문에서 이 정리들을 적용할 때는 사건들이 실제로 배반사건인지 독립사건인지를 데이터나 실험설계 상에서 확인하는 절차가 함께 제시되는 것이 바람직합니다.
주의할 점
덧셈정리를 쓸 때 두 사건이 겹치는지(즉 여사건과 배반사건인지 아닌지)를 먼저 확인하지 않으면 확률을 과대추정하기 쉽습니다. 마찬가지로 곱셈정리를 쓸 때 두 사건이 독립인지 확인하지 않고 단순히 확률을 곱하면, 실제로는 서로 영향을 주는 사건인데도 잘못된 결과를 얻게 됩니다.