확률의 덧셈정리와 곱셈정리 (Addition and Multiplication Rule of Probability)

한 줄 정의: 덧셈정리는 "둘 중 하나라도 일어날 확률"을, 곱셈정리는 "둘 다 동시에 일어날 확률"을 계산하는 기본 공식입니다.

쉽게 풀면

주사위를 한 번 던져서 "1이 나오거나 2가 나올 확률"을 구하고 싶다면, 두 사건이 겹치지 않으므로 각각의 확률을 그냥 더하면 됩니다(1/6 + 1/6 = 2/6). 이것이 덧셈정리입니다.

다만 두 사건이 겹칠 수도 있다면 겹치는 부분을 한 번 빼줘야 하는데(A 또는 B의 확률 = A의 확률 + B의 확률 − A와 B가 동시에 일어날 확률), 이 보정을 안 하면 겹치는 부분을 두 번 세는 실수를 하게 됩니다.

반대로 "동전을 던져 앞면이 나오고, 동시에 주사위를 던져 6이 나올 확률"처럼 "이것도 일어나고 저것도 일어나는" 상황은 두 확률을 곱해서 구합니다. 이것이 곱셈정리이며, 두 사건이 독립이 아니라면 조건부확률을 곱해야 정확한 값이 나옵니다.

왜 중요한가

덧셈정리와 곱셈정리는 복잡한 확률 모형이나 통계적 검정을 이해하기 위한 가장 기초적인 building block이기 때문에, 여러 사건이 얽힌 위험을 계산하는 거의 모든 분야의 논문에서 암묵적으로 전제됩니다.

예를 들어 여러 진단검사를 조합했을 때의 오탐률, 여러 부품이 동시에 고장 날 확률, 다단계 실험에서 특정 결과가 나올 확률 등을 계산할 때 이 두 정리가 기본 뼈대를 이룹니다. 베이즈 정리나 다중검정 보정 같은 더 복잡한 통계 기법도 결국 이 두 정리의 확장이라는 점에서 중요성이 큽니다.

핵심 정리

덧셈정리: P(A 또는 B) = P(A) + P(B) − P(A 그리고 B). 두 사건이 동시에 일어날 수 없으면(배반) 마지막 항이 0이어서 P(A) + P(B)가 됩니다. 겹치는 부분을 두 번 세지 않으려고 한 번 빼는 것입니다.
곱셈정리: P(A 그리고 B) = P(A) × P(B | A). 두 사건이 독립이면 P(B | A) = P(B)이므로 P(A) × P(B)가 됩니다.
‘적어도 하나’의 확률은 여사건으로 계산하는 편이 쉽습니다. P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음).

	배반	독립
뜻	동시에 일어날 수 없다	한쪽이 일어나도 다른 쪽 확률이 변하지 않는다
쓰이는 공식	합의 공식에서 겹침이 0	곱의 공식에서 조건부확률이 단순해짐

예시로 보기

카드 52장에서 한 장을 뽑을 때(계산 결과):

‘하트 또는 K’ — 하트 13장, K 4장, 하트 K 1장이 겹치므로 13/52 + 4/52 − 1/52 = 16/52 ≈ .308. 겹침을 빼지 않고 17/52로 계산하면 틀립니다.
‘에이스 두 장을 연속으로(되돌려 놓지 않고)’ — 첫 장이 에이스일 확률 4/52, 그다음 3/51이므로 4/52 × 3/51 = 1/221 ≈ .0045. 두 번째 확률이 첫 번째 결과에 영향을 받으므로 독립이 아닙니다. 독립이라고 착각해 (4/52)²으로 계산하면 약 .0059가 되어 틀립니다.

주사위를 4번 던질 때 6이 적어도 한 번 나올 확률은 1 − (5/6)⁴ ≈ .518입니다. 같은 논리로, 유의수준 .05인 독립적인 검정을 20번 하면 적어도 한 번 우연히 유의할 확률은 1 − .95²⁰ ≈ .64입니다(다중비교보정이 필요한 이유).

자주 하는 오해

“배반이면 독립이다”는 틀립니다. 두 사건이 모두 일어날 가능성이 있는데 동시에 일어날 수 없다면, 한쪽이 일어났을 때 다른 쪽은 확률이 0이 되므로 오히려 서로 의존합니다.
‘독립’은 확률을 곱할 수 있다는 성질이고 ‘배반’은 확률을 더할 수 있다는 성질입니다. 둘은 서로 다른 질문에 답하므로, 문제를 풀 때 어느 쪽 조건이 주어졌는지 먼저 확인합니다.
“앞에서 연속으로 앞면이 나왔으니 이번에는 뒷면 쪽이 유리하다”는 생각(도박사의 오류)은, 독립 사건에서는 곱셈정리가 보장하는 것과 정반대입니다. 이전 결과는 다음 확률을 바꾸지 않습니다.
논문에서 확률을 단순히 곱했다면, 사건이 정말 독립인지에 대한 근거(실험 설계나 자료)가 필요합니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

실제 논문에서

이 용어를 직접 쓴 국내 논문 문장을 아직 수집하지 못했습니다. 수집되는 대로 출처와 함께 싣겠습니다.

예시 문장

아래는 용어의 쓰임을 보여 주려고 만든 예시로, 실제 논문에서 가져온 문장이 아닙니다.

"검사 A와 검사 B 중 적어도 하나에서 양성 반응을 보일 확률은 확률의 덧셈정리를 적용하여 각 검사의 양성률의 합에서 두 검사 모두 양성일 확률을 제외한 값으로 산출하였다."

여러 검사나 지표를 함께 고려할 때, "적어도 하나"라는 표현은 덧셈정리로, "모두 함께"라는 표현은 곱셈정리로 계산한다는 점을 논문에서 명시하는 경우가 많습니다.

"세 개의 독립된 하위 시스템이 모두 정상 작동할 확률은 곱셈정리에 따라 각 시스템의 신뢰도를 곱하여 산출하였으며, 이를 전체 시스템의 신뢰도 지표로 사용하였다."

신뢰성공학 분야에서는 여러 부품이나 시스템이 동시에 정상 작동해야 하는 상황을 곱셈정리로 모델링해 전체 시스템의 안정성을 평가한다.

"두 가지 위험요인 중 적어도 하나에 노출된 참가자의 비율을 덧셈정리를 이용해 추정하고, 두 요인이 상호 독립적이지 않다는 점을 반영해 결합확률을 보정하였다."

역학 연구에서는 여러 위험요인에 대한 노출 확률을 종합할 때 덧셈정리를 적용하되, 요인 간 상관관계를 함께 고려해야 한다는 점을 강조한다.

조금 더 깊게 보면

덧셈정리의 일반형은 두 사건 이상으로 확장될 때 포함-배제 원리(inclusion-exclusion principle)로 발전하며, 겹치는 부분을 정확히 빼고 더하는 절차가 사건의 개수가 늘어날수록 복잡해집니다.

곱셈정리 역시 사건이 독립이 아닌 경우에는 조건부확률을 순차적으로 곱하는 연쇄법칙(chain rule) 형태로 일반화되며, 이는 베이즈 정리나 마르코프 연쇄 같은 더 발전된 확률 모형의 기초가 됩니다.

논문에서 이 정리들을 적용할 때는 사건들이 실제로 배반사건인지 독립사건인지를 데이터나 실험설계 상에서 확인하는 절차가 함께 제시되는 것이 바람직합니다.

주의할 점

덧셈정리를 쓸 때 두 사건이 겹치는지(즉 배반사건인지 아닌지)를 먼저 확인하지 않으면 확률을 과대추정하기 쉽습니다. 마찬가지로 곱셈정리를 쓸 때 두 사건이 독립인지 확인하지 않고 단순히 확률을 곱하면, 실제로는 서로 영향을 주는 사건인데도 잘못된 결과를 얻게 됩니다.

헷갈리기 쉬운 용어

‘배반’, ‘독립’, ‘여사건’은 서로 다른 개념입니다.

용어	뜻	예
배반사건	동시에 일어날 수 없는 사건	주사위에서 ‘1이 나옴’과 ‘2가 나옴’
독립사건	한쪽이 일어나도 다른 쪽 확률이 변하지 않음	서로 다른 두 주사위의 눈
여사건	A가 일어나지 않는 사건(Aᶜ), P(Aᶜ) = 1 − P(A)	‘6이 나옴’의 여사건은 ‘6이 아님’
조건부확률	어떤 사건이 일어났다는 조건 아래의 확률	곱셈정리의 P(B \| A)

여사건이면 반드시 배반이지만, 배반이라고 해서 여사건인 것은 아닙니다(‘1’과 ‘2’는 배반이지만 서로의 여사건이 아닙니다).

참고 문헌

Ross, S. (2019). A First Course in Probability (10th ed.). Pearson.
Feller, W. (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1 (3rd ed.). Wiley.
Grinstead, C. M., & Snell, J. L. (1997). Introduction to Probability (2nd rev. ed.). American Mathematical Society.

표의 기준값은 위 문헌에 근거한 관례이며, 분야·학술지마다 다른 기준을 쓸 수 있습니다.