여사건과 배반사건 (Complementary and Mutually Exclusive Events)
쉽게 풀면
주사위를 던져 "짝수가 나오는 사건"을 A라고 하면, A의 여사건은 "짝수가 아닌 경우", 즉 "홀수가 나오는 사건"입니다. 여사건은 항상 원래 사건과 짝을 이루며, 둘의 확률을 더하면 반드시 1(전체)이 됩니다. 그래서 "적어도 하나는 성공할 확률"처럼 직접 계산하기 복잡한 문제는 "1 − 전혀 성공하지 못할 확률(여사건)"로 바꿔 푸는 경우가 많습니다. 한편 배반사건은 "동시에 일어날 수 없는 두 사건"을 말합니다. 예를 들어 주사위를 한 번 던질 때 "1이 나오는 사건"과 "2가 나오는 사건"은 동시에 일어날 수 없으므로 배반사건입니다. 배반사건끼리는 겹치는 부분이 없기 때문에 두 사건 중 하나라도 일어날 확률은 각 확률을 그냥 더하면 됩니다.
왜 중요한가
확률을 다루는 거의 모든 논문은 사건들을 어떻게 정의하고 나누는지에서 출발하기 때문에, 여사건과 배반사건은 확률 계산의 기초 문법에 해당합니다. 특히 "적어도 하나", "전혀 없음" 같은 표현이 들어간 결과를 보고할 때는 여사건을 이용해 계산을 단순화하는 경우가 많고, 여러 범주나 상태를 겹치지 않게 나누는 분류 체계를 설계할 때는 배반사건 개념이 그 정당성을 뒷받침합니다. 이 때문에 통계학뿐 아니라 역학, 신뢰도 공학, 기계학습의 분류 문제 등 확률적 판단이 개입하는 거의 모든 실증 연구에서 이 두 개념이 전제로 깔려 있습니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
임상 연구에서는 환자를 겹치지 않는 범주로 분류할 때 "배반사건"이라는 전제를 명시하고, "적어도 하나"와 같은 표현을 다룰 때는 여사건을 이용해 계산을 단순화합니다.
신뢰도 공학에서는 여사건으로 계산을 단순화하는 동시에, 배반사건과 독립사건을 혼동하지 않도록 가정을 명시적으로 구분해 서술하는 경향이 있습니다.
기계학습 분야에서는 다중 클래스 분류 문제를 설계할 때 라벨 간 배반관계를 전제로 삼아, 개별 클래스 확률과 그 여사건 확률 사이의 관계를 손실 함수 설계나 성능 해석에 활용합니다.
조금 더 깊게 보면
배반사건 개념은 셋 이상의 사건으로 확장될 수 있는데, 이때는 "쌍마다 배반(pairwise mutually exclusive)"인지 확인하는 것이 중요합니다. 세 개 이상의 사건이 있을 때 전체가 동시에 겹치지 않는 것처럼 보여도, 특정 두 사건끼리는 겹칠 수 있기 때문입니다. 또한 여러 배반사건들의 확률을 모두 더했을 때 1이 되면 이 사건들은 표본공간을 빠짐없이 나누는 것이 되는데, 이런 구조를 표본공간의 분할(partition)이라고 부르며 전확률공식이나 베이즈 정리를 적용할 때 기본 전제로 사용됩니다. 논문을 읽을 때는 저자가 "배반"을 가정한 근거가 실제 사건 정의에서 성립하는지, 또는 근사적으로만 성립하는 가정인지를 확인하는 것이 중요합니다.
주의할 점
배반사건과 독립사건은 전혀 다른 개념인데도 자주 혼동됩니다. 배반사건은 "동시에 일어날 수 없는 관계"이고, 독립사건과 종속사건은 "한 사건의 발생이 다른 사건의 확률에 영향을 주지 않는 관계"입니다. 실제로 확률이 0이 아닌 두 사건이 배반사건이면 한쪽이 일어나는 순간 다른 쪽은 절대 일어나지 않으므로, 오히려 서로 강하게 영향을 주는 것이어서 독립일 수 없습니다.