근축 근사 (Paraxial Approximation)
쉽게 풀면
렌즈를 지나는 빛의 경로를 정확히 계산하려면 삼각함수가 섞인 복잡한 식이 필요합니다. 하지만 광축(렌즈의 중심선)에 아주 가깝고 기울기가 작은 광선만 생각하면, 복잡한 사인 함수를 각도 값 자체로 바꿔서 계산을 훨씬 간단하게 만들 수 있습니다. 이렇게 단순화한 계산 방식을 근축 근사라고 부릅니다. 렌즈 설계의 첫 단계에서 대략적인 초점 위치나 배율을 빠르게 구할 때 쓰는 approximation입니다.
왜 중요한가
근축 근사는 초점거리, 배율, 상의 위치 같은 광학계의 기본 특성을 손으로도 계산할 수 있게 해주는 출발점이기 때문에 광학 설계 교육과 초기 설계 단계에서 필수적으로 사용됩니다. 실제 정밀 설계에서는 근축 근사에서 벗어나는 차이(수차)를 보정하는 것이 다음 과제가 되므로, 근축 근사는 모든 광학 설계 논문의 기준점 역할을 합니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
설계 초기값을 구하는 단계에서 근축 근사가 활용되는 전형적인 흐름을 보여줍니다.
근축 근사가 이론적 기준값을 제공하고, 실제 결과와의 차이가 수차 분석의 근거가 됨을 보여주는 예문입니다.
조금 더 깊게 보면
근축 근사에서는 스넬의 굴절법칙에 등장하는 sin θ를 θ로 바꾸는 근사를 사용하며, 이 근사에 기반한 광선추적을 1차 광선추적(first-order 또는 Gaussian optics)이라고 부릅니다. 이 틀 안에서 주평면, 초점거리, 배율 같은 기본 개념들이 정의됩니다. 근축근사는 광축과 이루는 각도 θ가 충분히 작을 때 sinθ와 tanθ를 θ 자체로, cosθ를 1로 근사하는 가정으로, 이 조건 아래서는 구면 렌즈에 의한 결상 관계가 단순한 선형 방정식(가우스 결상 공식)으로 정리되어 초점거리, 배율, 상 위치를 손쉽게 계산할 수 있습니다.
주의할 점
광선이 광축에서 멀어지거나 기울기가 커지면 근사의 오차가 커져 실제 상과 차이가 발생하며, 이 차이가 바로 수차입니다. 따라서 근축 근사는 정밀한 최종 설계값이 아니라 설계의 출발점으로만 사용해야 합니다. 실제 광선은 각도가 커질수록 근축근사에서 벗어나 구면수차, 코마 등 각종 수차가 발생하므로, 정밀 광학계 설계에서는 근축 이론으로 1차 설계를 한 뒤 실제 광선추적(ray tracing)으로 고차 수차를 별도로 보정합니다.