M/M/1 대기모형 (M/M/1 Queue)
쉽게 풀면
편의점 계산대가 하나뿐이고, 손님이 무작위 간격으로 도착하며, 계산 시간도 매번 조금씩 다르다고 생각해보면 됩니다. M/M/1에서 앞의 M은 도착 간격이 무작위(마르코프적, 지수분포)라는 뜻이고, 두 번째 M은 서비스 시간도 무작위라는 뜻이며, 1은 계산대(서버)가 하나임을 나타냅니다. 이 단순한 가정 덕분에 평균 대기시간이나 평균 대기 인원 같은 값을 비교적 쉬운 수식으로 계산할 수 있습니다.
왜 중요한가
M/M/1 대기모형은 대기행렬 이론에서 가장 기본이 되는 모형으로, 콜센터, 병원 접수창구, 서버 시스템 등 하나의 창구가 여러 요청을 순차적으로 처리하는 현실 시스템을 분석하는 출발점이 됩니다. 서버 증설이나 서비스율 개선이 대기시간에 미치는 영향을 정량적으로 보여줄 수 있어 자원 배치 의사결정에 널리 활용됩니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
응급실 진료창구 하나를 M/M/1 모형으로 단순화해, 환자들이 평균적으로 얼마나 기다리는지 수식으로 계산했다는 뜻입니다.
서버가 얼마나 바쁜지(이용률)가 높아질수록 대기시간이 어떻게 늘어나는지를 M/M/1 모형으로 실험했다는 의미입니다.
조금 더 깊게 보면
M/M/1 모형은 도착률 λ와 서비스율 μ의 비율인 이용률(ρ=λ/μ)이 1보다 작을 때만 시스템이 안정적으로 유지됩니다. 이 조건 아래에서 평균 대기 인원, 평균 시스템 체류시간 등이 ρ의 함수로 표현되며, ρ가 1에 가까워질수록 대기시간이 급격히 증가하는 특성을 보입니다. 이는 생멸과정을 이용해 유도된 결과입니다.
주의할 점
실제 시스템의 도착이나 서비스 시간이 지수분포를 따르지 않는 경우가 많아, M/M/1 결과를 그대로 적용하면 오차가 발생할 수 있습니다. 서버가 여러 대이거나 대기 공간에 제한이 있는 경우에는 다른 확장 모형이 필요합니다.