혼합정수계획법 (Mixed-Integer Programming)
한 줄 정의: 일부 결정변수는 정수, 나머지는 연속값을 갖도록 허용하면서 목적함수를 최적화하는 수리계획 문제입니다.
쉽게 풀면
공장을 "지을지 말지"는 0 또는 1의 정수로, 그 공장에서 "얼마나 생산할지"는 소수점이 있는 연속값으로 표현하고 싶을 때가 많습니다. 혼합정수계획법은 이렇게 정수 변수와 연속 변수를 한 모형 안에 함께 담을 수 있게 해줍니다. 모든 변수를 정수로 강제하지 않아도 되기 때문에 현실 문제를 더 유연하게 표현할 수 있습니다. 그만큼 다양한 산업 문제에 널리 쓰입니다.
왜 중요한가
공급망 설계, 생산 계획, 스케줄링 등 대부분의 실제 산업공학 문제는 예/아니오 결정과 양적 결정이 동시에 얽혀 있습니다. 혼합정수계획법은 이런 복합적인 구조를 하나의 최적화 모형으로 통합할 수 있어 실무 적용성이 높다고 평가받습니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"본 논문은 설비 확장 시점과 생산량을 동시에 결정하는 혼합정수계획법(MIP) 모형을 제안한다."
설비를 지을지 말지는 정수 변수로, 실제 생산량은 연속 변수로 표현해 함께 최적화한다는 뜻입니다.
"제안 모형은 상용 솔버(CPLEX, Gurobi 등)를 이용한 혼합정수계획법으로 풀이되었다."
혼합정수계획 문제를 풀기 위해 널리 쓰이는 전용 최적화 소프트웨어를 사용했다는 의미입니다.
조금 더 깊게 보면
혼합정수계획법은 목적함수와 제약이 선형이면 혼합정수선형계획법(MILP), 비선형 요소가 포함되면 혼합정수비선형계획법(MINLP)으로 구분됩니다. 대표적인 풀이 방법은 분기한정법을 절단평면법 등과 결합한 분기절단법이며, 상용 솔버들이 이를 구현해 널리 활용됩니다.
주의할 점
정수 변수의 수가 많아지면 풀이 시간이 급격히 늘어날 수 있으므로, 문제 규모에 따라 모형 단순화나 근사 기법이 함께 고려되는 경우가 많습니다.