르베그 적분 (Lebesgue Integral)
한 줄 정의: 정의역이 아니라 함숫값을 잘게 나누어 측도로 재는 방식의 적분입니다.
쉽게 풀면
리만 적분은 x축을 잘게 쪼개 세로 막대의 넓이를 더합니다. 르베그 적분은 반대로 함숫값을 쪼갠 다음 그 값을 갖는 x들의 집합이 얼마나 큰가를 측도로 재어 곱해 더합니다. 동전을 셀 때 순서대로 세는 대신 액면가별로 모아서 세는 것과 비슷합니다. 이 방식 덕분에 리만 적분으로는 다룰 수 없는 복잡한 함수까지 적분할 수 있게 됩니다.
왜 중요한가
확률론은 확률을 측도로 보고 기댓값을 르베그 적분으로 정의하므로, 현대 확률·통계 이론의 언어 자체가 이 적분 위에 놓여 있습니다. 또한 극한과 적분의 교환을 보장하는 강력한 수렴 정리들을 제공하여 함수해석학과 편미분방정식 연구의 기반이 됩니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"피적분함수가 리만 적분 가능하지 않으므로 르베그 적분의 틀에서 기댓값을 정의하였다."
조금 더 깊게 보면
먼저 유한 개의 값만 갖는 단순함수의 적분을 각 값에 해당 집합의 측도를 곱해 정의하고, 일반 함수는 단순함수의 증가 극한으로 적분을 정의합니다. 이 구성 덕분에 단조수렴정리, 파투 보조정리, 지배수렴정리 같은 극한 교환 정리가 성립합니다. 유계 폐구간에서 리만 적분이 가능한 함수는 르베그 적분도 가능하고 값이 같으므로, 르베그 적분은 리만 적분의 확장입니다.
주의할 점
측도론 기초가 측도라는 크기 개념 자체를 다룬다면, 르베그 적분은 그 측도를 이용해 적분을 구성하는 단계라는 점에서 다릅니다. 또 이상적분으로는 수렴하지만 르베그 적분으로는 적분 불가능한 함수가 있어, 두 적분이 항상 같은 범위를 다루지는 않습니다.