라그랑주 정리(군론) (Lagrange's Theorem (Group Theory))
한 줄 정의: 유한군에서 부분군의 원소 개수는 전체 군의 원소 개수를 나눕니다.
쉽게 풀면
유한개의 원소를 가진 군 안에 더 작은 군이 들어 있으면, 작은 군의 크기는 반드시 큰 군 크기의 약수가 됩니다. 이유는 큰 군을 작은 군의 복사본들로 빈틈없이 똑같은 크기로 나눌 수 있기 때문입니다. 이 복사본을 잉여류라고 부릅니다.
왜 중요한가
군의 크기만 알아도 가능한 부분군의 크기가 제한되므로, 유한군을 분류하고 구조를 추론하는 가장 기본적인 도구입니다. 원소의 위수도 군의 크기를 나눈다는 따름정리에서 페르마의 소정리와 오일러 정리가 곧바로 나옵니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"라그랑주 정리에 의해 위수가 소수인 군은 자명하지 않은 부분군을 갖지 않으므로 순환군임을 알 수 있다."
조금 더 깊게 보면
증명의 핵심은 잉여류들이 서로 겹치지 않고 전체를 덮으며 모두 같은 크기를 갖는다는 관찰입니다. 부분군의 잉여류 개수를 지표라 부르고, 군의 크기는 부분군의 크기와 지표의 곱으로 표현됩니다. 역은 일반적으로 성립하지 않아서, 군 크기의 약수마다 그 크기의 부분군이 반드시 존재하지는 않습니다. 소수 거듭제곱 크기의 부분군에 대해서는 실로 정리가 부분적인 역을 제공합니다.
주의할 점
약수마다 부분군이 존재한다고 읽으면 틀립니다. 정리는 어디까지나 존재하는 부분군의 크기가 약수라는 필요조건만 말합니다. 해석학의 라그랑주 승수법이나 라그랑주 보간법과는 이름만 같습니다.