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정수의 분할 (Integer Partition)

쉽게 풀면

4를 자연수의 합으로 쓰는 방법은 4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1의 다섯 가지입니다. 이처럼 순서를 무시하고 더하는 방법의 수를 분할수라고 합니다. 순서를 구별하는 경우와 달리 3+1과 1+3은 같은 것으로 셉니다.

왜 중요한가

동일한 물건을 구별되지 않는 상자에 나누는 문제, 통계역학에서 에너지를 여러 준위에 배분하는 문제, 대칭군의 표현 분류가 모두 정수의 분할로 기술됩니다. 생성함수 기법의 위력을 보여 주는 대표 사례여서 조합론 교재에서 표준적으로 다루어집니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

조금 더 깊게 보면

분할수에 대한 간단한 닫힌 공식은 알려져 있지 않지만, 생성함수로는 각 자연수 k에 대해 1에서 x의 k제곱을 뺀 것의 역수를 모두 곱한 무한곱으로 깔끔하게 표현됩니다. 오일러는 서로 다른 수들로만 이루어진 분할의 개수가 홀수만으로 이루어진 분할의 개수와 같음을 이 생성함수로 증명했습니다. 분할을 점으로 그린 영 도표는 행과 열을 바꾸는 켤레 연산을 통해 여러 항등식을 시각적으로 설명해 주며, 하디와 라마누잔은 분할수의 점근 공식을 제시했습니다.

주의할 점

같은 수를 순서를 구별해 더하는 합성과 구별해야 합니다. 합성의 개수는 간단한 지수 형태이지만 분할수는 그렇지 않습니다. 중복조합은 구별되는 상자에 나누는 문제여서 분할과 답이 다릅니다.

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