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푸비니 정리 (Fubini Theorem)

쉽게 풀면

이중적분은 원래 평면 위 영역 전체에 대한 하나의 적분이지만, 실제 계산은 x로 먼저 적분하고 y로 나중에 적분하는 식으로 한 번에 한 변수씩 처리합니다. 푸비니 정리는 이런 변환이 가능하고, 나아가 x와 y의 적분 순서를 바꿔도 결과가 같다는 것을 보장합니다. 적절한 조건이 있을 때만 성립한다는 점이 중요합니다.

왜 중요한가

중적분 계산에서 한쪽 순서로는 손으로 풀 수 없던 적분이 순서를 바꾸면 쉽게 풀리는 경우가 많아 실제 계산에서 폭넓게 활용됩니다. 확률론에서도 결합분포의 기댓값을 반복 계산으로 바꾸는 근거가 되어 자주 인용됩니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

조금 더 깊게 보면

엄밀한 형태에서는 두 가지 버전이 함께 쓰입니다. 토넬리 정리는 함수가 음이 아니면 적분 가능성을 미리 몰라도 순서 교환을 허용하고, 푸비니 정리는 절댓값의 적분이 유한하다는 조건 아래 일반 함수에 적용됩니다. 실무에서는 토넬리로 절댓값 적분이 유한함을 먼저 보이고 그다음 푸비니로 원래 함수의 순서를 교환하는 두 단계 논법이 표준입니다.

주의할 점

적분 가능성 조건을 확인하지 않고 순서를 바꾸면 두 반복적분의 값이 달라지는 반례가 존재합니다. 또 적분 순서 교환과 적분 영역의 모양 변경은 별개의 문제라서, 영역이 직사각형이 아닐 때는 적분 한계를 다시 계산해야 합니다.

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