지배수렴정리 (Dominated Convergence Theorem)
한 줄 정의: 함수열이 점별 수렴하고 모두 하나의 적분가능 함수로 절댓값이 눌려 있으면, 극한과 적분의 순서를 바꿀 수 있다는 르베그 적분의 정리입니다.
쉽게 풀면
'극한을 먼저 하고 적분할까, 적분을 먼저 하고 극한을 취할까?' 둘이 늘 같지는 않습니다. 지배수렴정리는 모든 함수가 적분값이 유한한 어떤 함수 아래에 눌려 있으면 순서를 바꿔도 된다고 보장합니다. 이 '누르는 함수'가 지배함수입니다.
왜 중요한가
확률론에서 기댓값의 극한 계산, 적분 기호 아래 미분, 푸리에 해석 등에서 가장 자주 쓰는 교환 정리입니다. 리만 적분보다 르베그 적분이 다루기 쉬운 이유를 잘 보여 줍니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"|f_n(x)|≤g(x)이고 g가 적분가능하므로 지배수렴정리에 의해 lim∫f_n dμ=∫lim f_n dμ가 성립한다."
정리를 적용할 때 지배함수 조건을 명시하는 전형적인 서술입니다.
조금 더 깊게 보면
조건은 f_n이 거의 모든 점에서 f로 수렴하고, |f_n|≤g이며 g가 적분가능하다는 것입니다. 그러면 f도 적분가능하고 ∫|f_n−f|→0입니다. 증명에는 파투 보조정리가 쓰입니다. 단조수렴정리가 증가하는 비음 함수열에 쓰인다면, 지배수렴정리는 부호가 바뀌는 함수열에도 쓸 수 있습니다.
주의할 점
지배함수가 없으면 결론이 틀릴 수 있습니다(예: 높이 n, 폭 1/n인 함수열). 이산코사인변환과 영문 약어가 같아 약어 표기는 피하는 것이 좋습니다.