카이제곱 적합도검정 (Chi-square Goodness-of-fit Test)
쉽게 풀면
주사위를 60번 던졌을 때 1~6이 각각 10번씩 나와야 "공정한 주사위"라고 기대할 수 있습니다. 그런데 실제로 던져보니 1은 5번, 6은 18번 나왔다면, 이 주사위가 정말 공정한지 의심이 듭니다. 카이제곱 적합도검정은 이렇게 "실제로 관측된 빈도"가 "이론적으로 기대되는 빈도(비율)"와 얼마나 차이 나는지를 계산해서, 그 차이가 우연으로 보기엔 너무 크다면 "이 변수는 기대했던 분포를 따르지 않는다"고 결론 내리는 방법입니다. 카이제곱검정 중에서도 이 방법은 변수 하나가 특정 분포에 "들어맞는지(goodness-of-fit)"를 보는 것이 특징이며, 두 변수 사이에 관계가 있는지를 보는 카이제곱검정과는 목적이 다릅니다.
왜 중요한가
많은 통계 연구는 표본이 모집단을 대표한다는 전제 위에서 결과를 해석하는데, 카이제곱 적합도검정은 이 전제를 직접 확인할 수 있는 몇 안 되는 도구입니다. 설문조사, 실험설계, 유전학의 멘델 유전비율 검증처럼 "관측된 비율이 이론적으로 기대한 비율과 같은가"라는 질문은 사회과학부터 생명과학까지 폭넓게 등장합니다. 표본 편향이나 모형 적합성을 점검하는 사전 절차로 쓰이는 경우가 많아, 본 분석에 앞서 논문의 방법론 절에서 자주 언급됩니다.
언제 쓰나
한 범주형 변수의 관측 도수가 미리 정해 둔 비율과 맞는지 볼 때 씁니다. 귀무가설은 “각 범주의 확률이 지정한 값과 같다”입니다. 이 검정은 피어슨(Karl Pearson)이 1900년에 그 성질을 처음 다룬 피어슨 카이제곱 검정의 한 용도입니다.
- 자유도: 범주 수에서 모형이 자료에 맞춰 추정한 모수의 수를 뺍니다. 범주가 k개이고 비율을 미리 정했다면 k − 1입니다. 자료에서 푸아송분포의 모수 하나를 추정했다면 k − 2입니다.
- 기대도수: 기대도수가 아주 작으면 검정이 부정확해질 수 있어 5 이상이 흔히 권장됩니다. 그렇지 않으면 정확검정이나 모의 p값을 고려합니다. 범주가 둘뿐이면 이항검정이 정확검정입니다(이항검정).
- 범주가 서로 겹치지 않고 모든 경우를 포괄해야 하며, 관측치는 서로 독립이어야 합니다.
결과는 이렇게 읽는다
통계량은 χ² = Σ (O − E)² / E입니다(O는 관측도수, E는 기대도수).
예 1. 주사위(가상의 값). 공정한 주사위를 60번 던져 1~6이 각각 5, 8, 11, 9, 9, 18번 나왔다고 합시다. 기대도수는 모두 10입니다.
| 눈 | 관측 O | 기대 E | (O − E)²/E |
|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 10 | 2.5 |
| 2 | 8 | 10 | 0.4 |
| 3 | 11 | 10 | 0.1 |
| 4 | 9 | 10 | 0.1 |
| 5 | 9 | 10 | 0.1 |
| 6 | 18 | 10 | 6.4 |
합은 χ² = 9.6, 자유도 5에서 p ≈ .087입니다. 자유도 5에서 α = .05의 임계값은 약 11.07이므로 통계량이 이보다 작고, .05 수준에서 귀무가설을 기각하지 못합니다. 이는 “주사위가 공정하다”는 증명이 아니라 “공정하지 않다고 하기엔 증거가 부족하다”는 뜻입니다. 6의 눈 한 칸이 통계량의 대부분(6.4/9.6)을 만든다는 점도 눈여겨볼 만합니다.
예 2. 멘델의 3:1(가상의 값). F₂ 100개체에서 우성 78, 열성 22이면 기대는 75, 25이고 χ² = 9/75 + 9/25 = 0.48, 자유도 1에서 p ≈ .488입니다.
논문에는 이렇게 보고한다
통계량, 자유도, 표본 크기, p값을 함께 적고, 기대 비율을 어떻게 정했는지(이론값인지, 자료에서 추정했는지)와 관측·기대도수를 표로 보입니다.
주사위 눈의 분포는 균등분포에서 유의하게 벗어나지 않았다(χ²(5, N = 60) = 9.60, p = .087).
- 기대도수가 작은 칸이 있으면 정확검정이나 모의 p값을 쓴 사실을 적습니다.
- 표본이 크면 작은 차이도 유의해지므로, 어느 범주가 통계량에 크게 기여했는지(위 표의 마지막 열)나 효과크기를 함께 제시합니다.
- 정규성처럼 연속형 변수의 분포를 확인하는 목적에는 샤피로–윌크 검정이나 콜모고로프–스미르노프 검정을 따로 씁니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
실제 논문에서
이 용어를 직접 쓴 국내 논문 문장을 아직 수집하지 못했습니다. 수집되는 대로 출처와 함께 싣겠습니다.
예시 문장
아래는 용어의 쓰임을 보여 주려고 만든 예시로, 실제 논문에서 가져온 문장이 아닙니다.
이 문장은 "설문 응답자의 혈액형 비율이 일반 인구 집단에서 알려진 비율과 통계적으로 다르지 않았다"는 뜻으로, 표본이 모집단의 알려진 분포를 잘 따르고 있음을 확인한 것입니다.
이 문장은 유전학 실험에서 관찰된 형질 분리 비율이 멘델 유전법칙이 예측하는 이론적 비율(3:1)에서 크게 벗어나지 않았음을 통계적으로 확인했다는 뜻입니다.
이 문장은 사용자 로그 데이터를 분석할 때, 요일마다 접속량이 동일할 것이라는 귀무가설(균등분포 가정)이 기각되어 특정 요일에 이용이 몰리는 경향이 있음을 통계적으로 보여준 것입니다.
조금 더 깊게 보면
카이제곱 적합도검정의 핵심 통계량은 각 범주별 (관측빈도-기대빈도)²/기대빈도의 합으로 계산되며, 이 값이 자유도(범주 수-1)에 해당하는 카이제곱분포에서 얼마나 극단적인 위치에 있는지를 바탕으로 유의성을 판단합니다. 범주 수가 많거나 기대빈도가 작은 경우 근사가 부정확해질 수 있어, 이런 상황에서는 정확검정(exact test)이나 시뮬레이션 기반 p값을 함께 보고하는 논문도 있습니다. 또한 검정 결과가 유의하더라도 그 차이의 크기(효과크기)를 별도로 보고하기 위해 Cramér's V 같은 관련 지표를 함께 제시하는 경우도 흔합니다.
주의할 점
카이제곱 적합도검정은 변수 하나의 "관측 대 기대" 비교이며, 두 범주형 변수 사이의 연관성을 보는 독립성검정과 혼동하기 쉽습니다. 예를 들어 "성별에 따라 선호 브랜드가 다른가?"는 독립성검정이지만, "선호 브랜드 비율이 업계 평균과 같은가?"는 적합도검정입니다. 또한 다른 카이제곱검정과 마찬가지로 각 범주의 기대빈도가 5 미만이면 검정 결과가 부정확해질 수 있습니다.
헷갈리기 쉬운 용어
이름이 비슷하지만 묻는 질문이 다릅니다.
| 용어 | 질문 | 자료 |
|---|---|---|
| 카이제곱 적합도검정 | 한 범주형 변수의 분포가 지정한 비율과 같은가 | 범주형 변수 하나 |
| 카이제곱검정(독립성) | 두 범주형 변수가 연관되어 있는가 | 범주형 변수 둘(분할표) |
| 이항검정 | 성공 확률이 가정한 값과 같은가 | 결과가 두 가지뿐인 경우(정확검정) |
| 콜모고로프–스미르노프 검정 | 표본이 주어진 기준 분포에서 나왔는가 | 연속형 변수 |
| 카이제곱분포 | 검정통계량이 따르는 분포 | 검정이 아니라 확률분포 |
참고 문헌
- Pearson, K. (1900). On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling. Philosophical Magazine, Series 5, 50(302), 157–175.
- Cochran, W. G. (1952). The χ² test of goodness of fit. Annals of Mathematical Statistics, 23(3), 315–345.
- Agresti, A. (2013). Categorical Data Analysis. Wiley.
표의 기준값은 위 문헌에 근거한 관례이며, 분야·학술지마다 다른 기준을 쓸 수 있습니다.