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체비쇼프 부등식 (Chebyshev's Inequality)

쉽게 풀면

어떤 분포든 평균과 분산만 알면, 값이 평균에서 크게 벗어날 확률의 상한을 계산할 수 있습니다. 평균에서 표준편차의 2배 이상 떨어질 확률은 4분의 1 이하, 3배 이상 떨어질 확률은 9분의 1 이하입니다. 분포 모양을 전혀 몰라도 성립한다는 것이 이 부등식의 강점입니다.

왜 중요한가

정규성 같은 분포 가정 없이도 쓸 수 있어, 이론적 상한을 세우는 데 폭넓게 활용됩니다. 특히 큰 수의 법칙의 가장 간단한 증명이 이 부등식 한 줄로 끝나기 때문에 확률론 입문의 핵심 도구입니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

조금 더 깊게 보면

증명은 음이 아닌 확률변수에 대한 마르코프 부등식을 편차의 제곱에 적용하는 것으로 두 줄이면 충분합니다. 일반성을 얻은 대가로 한계가 매우 느슨해서, 정규분포에서 실제로 2표준편차를 벗어날 확률은 약 5퍼센트인데 이 부등식은 25퍼센트까지만 보장합니다. 더 강한 가정을 붙이면 호프딩 부등식이나 체르노프 한계처럼 지수적으로 빠르게 감소하는 상한을 얻을 수 있습니다.

주의할 점

상한일 뿐 실제 확률의 근사가 아니므로 이 값을 실제 확률처럼 보고하면 안 됩니다. 또 분산이 존재하지 않는 분포에는 적용할 수 없습니다.

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