버킹엄 파이 정리 (Buckingham Pi Theorem)
한 줄 정의: 변수 개수에서 기본 차원 수를 뺀 만큼의 무차원수로 문제를 줄일 수 있다는 정리입니다.
쉽게 풀면
어떤 현상에 관련된 물리량이 여러 개라도, 단위가 사라지도록 조합하면 훨씬 적은 수의 무차원수로 관계를 적을 수 있습니다. 버킹엄 파이 정리는 그 개수를 알려 줍니다. 변수가 n개이고 이들을 표현하는 기본 차원이 k개이면 독립적인 무차원수는 n-k개가 됩니다.
왜 중요한가
레이놀즈 수, 누셀트 수 같은 무차원수가 왜 그런 조합인지 설명해 주고, 실험 계획에서 바꿔야 할 변수의 수를 극적으로 줄여 줍니다. 축소 모형 실험 결과를 실물에 적용하는 상사 실험의 이론적 근거이기도 합니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"버킹엄 파이 정리를 적용하여 여섯 개의 변수를 세 개의 무차원군으로 축약하였다."
실험에서 조절해야 할 조건 수를 크게 줄였다는 뜻입니다.
조금 더 깊게 보면
실제 적용에서는 기본 차원 수만큼의 반복 변수를 고르고, 나머지 변수 각각과 조합해 무차원수를 하나씩 만듭니다. 반복 변수 선택에 따라 얻어지는 무차원수의 형태가 달라지지만, 서로 곱하거나 거듭제곱해 변환할 수 있으므로 물리적 내용은 같습니다. 기본 차원 수 k는 엄밀하게는 차원행렬의 계수로 정해지며, 특수한 경우 차원 개수보다 작아질 수 있습니다. 어떤 변수를 애초에 빠뜨리면 정리는 그 사실을 알려 주지 못합니다.
주의할 점
이 정리는 무차원수의 '개수'와 '형태'만 알려 줄 뿐 그들 사이의 함수 관계는 알려 주지 않으므로, 관계식은 실험이나 해석으로 따로 구해야 합니다. 레이놀즈 수 같은 개별 무차원수는 이 정리의 결과물 중 하나입니다.