자기회귀모형 (Autoregressive Model)

한 줄 정의: 어떤 값을 예측할 때 다른 변수가 아니라 바로 그 값 자신의 과거 기록을 이용해 예측하는 시계열 모형입니다.

쉽게 풀면

보통 회귀분석은 키로 몸무게를 예측하듯 서로 다른 두 변수 사이의 관계를 봅니다. 그런데 자기회귀모형은 조금 다릅니다. 예를 들어 오늘의 기온을 예측할 때 어제, 그제 기온을 가지고 예측하는 식입니다. 즉 "자기 자신의 과거 값"이 "자기 자신의 현재 값"을 설명하는 변수로 쓰이는 것입니다. 몇 시점 전까지의 값을 참고하느냐에 따라 AR(1), AR(2)처럼 차수를 붙여 부르며, 주가나 기온, 매출액처럼 시간 순서대로 쌓인 데이터(시계열 데이터)를 분석할 때 가장 기본이 되는 모형입니다.

왜 중요한가

시계열 데이터는 관측값들이 시간 순서로 서로 이어져 있어서, 일반적인 회귀분석의 전제인 "관측치들이 서로 독립"이라는 가정이 성립하지 않습니다. 자기회귀모형은 이런 시간적 의존성을 명시적으로 모형에 반영하는 가장 기초적인 방법이기 때문에, 경제·금융의 예측 모형이나 기후·환경 데이터 분석, 생체신호 처리 등 시간에 따라 쌓이는 데이터를 다루는 거의 모든 연구 분야에서 출발점으로 다뤄집니다. 또한 더 복잡한 시계열 모형(ARIMA, VAR, 상태공간모형 등)이나 예측 알고리즘도 대부분 자기회귀 개념을 기반으로 확장된 형태이므로, 이 모형을 이해하는 것이 관련 논문을 읽는 데 필수적인 배경지식이 됩니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

"월별 소비자물가지수의 과거 값이 현재 값에 미치는 영향을 확인하기 위해 2차 자기회귀모형(autoregressive model, AR(2))을 적합하였다."

이 문장은 이번 달 물가지수를 지난달과 지지난달 물가지수만으로 설명하는 모형을 만들었다는 뜻입니다. 경제지표, 기후 데이터, 생체 신호처럼 시간에 따라 이어지는 데이터를 다루는 연구에서 기본 분석 틀로 자주 등장합니다.

"뇌파(EEG) 신호의 시간적 패턴을 특성화하기 위해 자기회귀모형의 계수를 특징 벡터로 추출하여 분류기의 입력으로 사용하였다."

생체신호를 분석하는 연구에서는 원신호 자체보다 자기회귀모형을 적합했을 때 나오는 계수 값들을 신호의 특징으로 활용하는 경우가 많습니다. 이 계수들이 신호의 시간적 변화 패턴을 압축적으로 담고 있기 때문에, 이후 분류나 진단 모델의 입력값으로 쓰입니다.

"하천 유량의 계절적 변동을 제거한 뒤 잔차 계열에 자기회귀모형을 적용하여 단기 예측 성능을 평가하였다."

환경·수문학 분야에서는 계절성이나 추세를 먼저 제거한 나머지 부분(잔차)에 자기회귀모형을 적용해, 그 데이터가 얼마나 스스로의 과거 값에 의존하는지를 확인하고 단기 예측에 활용하는 방식이 흔히 쓰입니다.

조금 더 깊게 보면

실제 논문에서 자기회귀모형을 다룰 때는 몇 시점 전까지의 값을 포함시킬지(차수, p) 정하는 과정이 중요하게 다뤄지며, 이를 위해 AIC나 BIC 같은 정보기준, 또는 자기상관함수(ACF)·편자기상관함수(PACF)의 형태를 참고하는 방법이 흔히 쓰입니다. 또한 모형이 안정적으로 해석되려면 계수 값들이 특정 조건(정상성 조건)을 만족해야 하며, 이를 단위근 검정(unit root test) 같은 방법으로 확인하는 경우가 많습니다. 계수 추정에는 최소제곱법이나 최대우도추정법이 주로 쓰이고, 추정된 계수의 부호와 크기는 과거의 어느 시점 값이 현재 값에 얼마나 영향을 미치는지를 해석하는 근거로 사용됩니다.

주의할 점

자기회귀모형은 여러 시계열 변수를 동시에 서로 예측하는 벡터자기회귀모형이나, 추세 제거와 이동평균 항까지 포함하는 ARIMA 모형과는 범위가 다른 더 단순한 모형입니다. 또한 데이터가 시간이 지나도 평균이나 분산이 일정하게 유지되는 정상성을 만족해야 안정적으로 해석할 수 있습니다.