에어리 응력함수 (Airy Stress Function)

한 줄 정의: 평형방정식을 자동으로 만족시키도록 응력을 표현한 2차원 스칼라 함수입니다.

쉽게 풀면

2차원 탄성 문제를 풀 때 응력 성분을 하나하나 미지수로 두면 식이 복잡해집니다. 에어리는 스칼라 함수 하나를 정해 두고 그 함수의 2계 미분으로 각 응력 성분을 정의했습니다. 이렇게 하면 힘의 평형 조건이 저절로 만족되고, 남은 조건은 그 함수가 만족해야 할 하나의 4계 편미분방정식(중조화 방정식)뿐입니다.

왜 중요한가

구멍 주위의 응력집중, 쐐기 하중, 곡선 보 같은 고전적 문제의 해석해가 대부분 이 방법으로 유도되었습니다. 이런 해석해는 유한요소해석 결과를 검증하는 기준해로 지금도 널리 쓰입니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

"무한 평판의 원공 주위 응력분포는 에어리 응력함수를 이용한 고전해와 잘 일치하였다."

수치해석 결과가 이미 알려진 이론해와 맞는지 확인했다는 뜻입니다.

조금 더 깊게 보면

응력함수를 쓰려면 평형방정식뿐 아니라 변형률 적합조건도 만족해야 하는데, 이 요구가 중조화 방정식으로 나타납니다. 직교좌표에서는 다항식 형태의 응력함수로 보의 굽힘 문제를, 극좌표에서는 미첼 해로 알려진 급수 형태로 원공·쐐기 문제를 풉니다. 체적력이 없고 평면응력 또는 평면변형률 가정이 성립하는 경우에 적용됩니다. 균열 선단 응력장의 윌리엄스 급수 해도 같은 틀에서 유도됩니다.

주의할 점

이 함수 자체에는 물리적 의미가 없고 응력을 편하게 표현하기 위한 수학적 도구일 뿐입니다. 응력집중계수가 결과로 얻어지는 수치라면, 에어리 응력함수는 그 수치를 유도하는 해석 수단입니다.