Z변환 (Z-Transform)
쉽게 풀면
연속적인 아날로그 신호를 다룰 때는 푸리에 변환이나 라플라스 변환을 쓰지만, 컴퓨터나 디지털 제어기가 다루는 신호는 일정한 시간 간격마다 찍힌 숫자들의 나열(샘플)입니다. Z변환은 이렇게 "띄엄띄엄 찍힌 숫자들의 수열"을 하나의 함수식으로 압축해서, 미분방정식 대신 대수 방정식으로 시스템을 분석할 수 있게 해줍니다. 비유하자면 연속 영화 필름(아날로그)을 낱장 사진(디지털 샘플)으로 찍은 뒤, 그 사진들의 관계를 하나의 수식으로 정리하는 것과 비슷합니다. 이렇게 얻은 z 평면에서의 위치(극점의 위치)를 보면 디지털 필터나 디지털 제어 시스템이 안정적으로 동작하는지 한눈에 판단할 수 있습니다.
왜 중요한가
오늘날 대부분의 제어 시스템과 신호처리 시스템은 마이크로컨트롤러나 컴퓨터로 구현되는 디지털 시스템이기 때문에, 이런 시스템을 설계하고 안정성을 분석하려면 이산 시간 신호를 대수적으로 다룰 수 있는 도구가 필요합니다. Z변환은 디지털 필터 설계, 제어기 설계, 시스템 안정성 해석의 이론적 기반을 이루기 때문에 디지털 신호처리 및 제어공학 논문에서 필수적으로 다뤄집니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
이 문장은 디지털 필터를 Z변환으로 표현한 뒤, 극점의 위치를 통해 시스템의 안정성을 검증했다는 분석 결과를 설명하는 내용입니다.
제어공학에서 아날로그로 설계된 제어기를 디지털 하드웨어에 이식하는 과정을 설명할 때 사용되는 표현이다.
의공학·생체신호처리 분야에서 심전도나 뇌파 신호의 잡음을 걸러내는 필터를 설계할 때 등장하는 예시다.
조금 더 깊게 보면
Z변환으로 얻은 전달함수의 극점과 영점 위치는 z평면 위에 표시되며, 특히 단위원(반지름이 1인 원)을 기준으로 극점이 안쪽에 있는지 바깥쪽에 있는지가 시스템의 안정성을 가르는 핵심 판단 기준입니다. 아날로그 시스템의 라플라스 변환을 Z변환으로 옮기는 과정에는 쌍선형 변환(bilinear transform)과 같은 여러 이산화 기법이 쓰이며, 어떤 방법을 택하느냐에 따라 원래 아날로그 시스템의 특성이 얼마나 잘 보존되는지가 달라집니다.
주의할 점
Z변환은 연속 시간 시스템의 전달함수를 라플라스 변환으로 표현하는 것과 대응되는 개념으로, 디지털(이산 시간) 시스템 전용입니다. 아날로그 시스템을 디지털로 옮길 때는 표본화 주기 선택이 중요하며, 이는 나이퀴스트-섀넌 표본화 정리와 밀접하게 연결됩니다.