균등수렴 (Uniform Convergence)
한 줄 정의: 함수열이 정의역 전체에서 같은 속도로 극한함수에 가까워지는 수렴입니다.
쉽게 풀면
함수들의 수열이 어떤 함수로 다가가는 방식에는 두 가지가 있습니다. 각 점마다 따로 가까워지면 점별수렴이고, 정의역의 모든 점에서 오차의 최대치가 한꺼번에 0으로 줄어들면 균등수렴입니다. 균등수렴은 점별수렴보다 훨씬 강한 조건입니다. 그림으로 보면 극한함수 주위에 얇은 띠를 그렸을 때, 어느 시점 이후의 모든 함수가 그 띠 안에 통째로 들어가는 상황입니다.
왜 중요한가
수렴의 종류에 따라 극한과 미분·적분의 순서를 바꿔도 되는지가 달라집니다. 균등수렴이면 연속함수의 극한은 연속이고 적분과 극한을 교환할 수 있지만, 점별수렴만으로는 이런 성질이 깨질 수 있습니다. 따라서 급수나 근사 이론을 다루는 논문은 어떤 의미의 수렴인지를 반드시 명시합니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"해당 함수열은 구간 내부의 모든 컴팩트 부분집합에서 균등수렴하지만 구간 전체에서는 균등수렴하지 않는다."
조금 더 깊게 보면
균등수렴은 극한함수와의 차이의 상한이 0으로 가는 것으로 표현되며, 이는 상한 노름에 대한 수렴과 같습니다. 바이어슈트라스 M-판정법은 각 항의 절댓값을 수렴하는 상수 급수로 눌러 급수의 균등수렴을 보이는 대표적인 방법입니다. 균등수렴하면 연속성과 리만적분 가능성은 극한으로 보존되지만, 미분가능성은 그렇지 않아 도함수열의 균등수렴을 따로 요구해야 합니다.
주의할 점
균등수렴은 수렴의 속도에 관한 조건이지 극한값에 관한 조건이 아닙니다. 또 컴팩트 집합마다 균등수렴한다는 국소균등수렴과, 정의역 전체에서의 균등수렴은 다른 개념이므로 구별해서 써야 합니다. 함수 하나의 성질인 균등연속과도 이름만 비슷할 뿐 다른 개념입니다.