삼각형의 외심과 내심 (triangle circumcenter incenter)
쉽게 풀면
세 친구의 집을 이은 삼각형 모양의 마을이 있다고 해봅시다. "세 집 모두에서 똑같은 거리에 있는 곳에 편의점을 짓고 싶다"면, 그 위치가 바로 외심입니다(세 변의 수직이등분선이 만나는 점이며, 그 지점을 중심으로 세 꼭짓점을 지나는 원을 그릴 수 있습니다).
반대로 "삼각형 모양 마을의 세 도로(변)에서 똑같은 거리만큼 떨어진 곳에 소방서를 짓고 싶다"면, 그 위치가 내심입니다(세 각의 이등분선이 만나는 점이며, 그 지점을 중심으로 세 변에 접하는 원을 그릴 수 있습니다). 즉 외심은 "꼭짓점 기준", 내심은 "변 기준"으로 거리를 재는 특별한 점입니다.
왜 중요한가
외심과 내심은 순수기하학뿐 아니라 수학교육 연구, 컴퓨터 그래픽스, 최적 위치 선정 문제 등에서도 응용됩니다. 외심은 세 점을 지나는 원을 정의하는 데 필요하고, 내심은 도형 안에 접하는 가장 큰 원을 구하는 문제와 연결되기 때문에, 도형의 대표점을 정의하거나 특정 조건을 만족하는 최적 위치를 찾는 다양한 문제의 기초 개념으로 다루어집니다.
핵심 정리
- 외심(O): 세 변의 수직이등분선이 만나는 점. 세 꼭짓점에서 같은 거리 R(외접원 반지름)에 있습니다.
- 내심(I): 세 내각의 이등분선이 만나는 점. 세 변에서 같은 거리 r(내접원 반지름)에 있습니다.
- 위치: 내심은 항상 삼각형 내부에 있습니다. 외심은 예각삼각형이면 내부, 직각삼각형이면 빗변의 중점, 둔각삼각형이면 외부에 있습니다.
- 공식: R = abc / (4S) (S는 넓이), r = S / s (s는 반둘레 = (a+b+c)/2). 사인법칙으로는 a / sin A = 2R입니다.
- 오일러의 삼각형 공식: 외심과 내심 사이 거리 d는
d² = R(R − 2r)를 만족합니다. 이로부터 R ≥ 2r이고, 등호는 정삼각형에서만 성립합니다.
예시로 보기
세 삼각형에서 좌표로 직접 계산했습니다(코드). 길이 단위는 임의입니다.
| 꼭짓점 | 외심 O | R | 내심 I | r | d² (O–I 거리 제곱) | R(R − 2r) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| (0,0), (4,0), (0,3) 직각 | (2.00, 1.50) | 2.50 | (1.00, 1.00) | 1.00 | 1.2500 | 1.2500 |
| (0,0), (6,0), (2,5) 예각 | (3.00, 1.70) | 3.45 | (2.49, 1.69) | 1.69 | 0.2592 | 0.2592 |
| (0,0), (6,0), (3,1) 둔각 | (3.00, -4.00) | 5.00 | (3.00, 0.49) | 0.49 | 20.1317 | 20.1317 |
첫 삼각형(3-4-5 직각삼각형)의 외심 (2.00, 1.50)은 빗변 (4,0)–(0,3)의 중점이고 R = 2.5는 빗변의 절반입니다. 내접원 반지름은 (3 + 4 − 5) / 2 = 1입니다. 세 경우 모두 d²와 R(R − 2r)이 같아 오일러 공식이 확인됩니다. 둘째 줄 삼각형은 외심 y좌표가 1.70이라 삼각형 안쪽, 셋째 줄(둔각)은 외심의 y좌표가 −4.00이어서 삼각형 밖에 있습니다.
자주 하는 오해
| 오해 | 바로잡기 |
|---|---|
| 외심도 항상 삼각형 안에 있다. | 둔각삼각형에서는 바깥에 있습니다. 내심만 항상 안에 있습니다. |
| 외심과 내심은 같은 점이다. | 정삼각형에서만 일치합니다. |
| 내심은 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있다. | 내심은 세 변에서 같은 거리입니다. 세 꼭짓점에서 같은 거리인 점은 외심입니다. |
| 외심은 무게중심처럼 중선의 교점이다. | 중선의 교점은 무게중심이고, 외심은 수직이등분선의 교점입니다. 두 점은 정삼각형에서만 일치합니다. |
논문에서는 이렇게 쓰입니다
실제 논문에서
이 용어를 직접 쓴 국내 논문 문장을 아직 수집하지 못했습니다. 수집되는 대로 출처와 함께 싣겠습니다.
예시 문장
아래는 용어의 쓰임을 보여 주려고 만든 예시로, 실제 논문에서 가져온 문장이 아닙니다.
이 문장은 학생들이 외심·내심이라는 결과값을 암기하는 것을 넘어, 그 배경이 되는 도형 성질(수직이등분선, 각의 이등분선)과의 연결 관계를 얼마나 이해하는지를 조사했다는 뜻입니다.
컴퓨터 그래픽스나 계산기하학 연구에서 외심의 성질을 이용해 삼각형 분할의 품질을 판단하는 데 활용한 예문입니다.
입지 선정이나 최적화 문제에서 외심의 정의(세 점에서 등거리)를 실제 문제 상황에 적용한 사례입니다.
조금 더 깊게 보면
외심을 중심으로 하는 외접원의 반지름은 삼각형의 세 변의 길이와 사인법칙을 이용해 구할 수 있고, 내심을 중심으로 하는 내접원의 반지름은 삼각형의 넓이와 반둘레를 이용한 공식으로 구할 수 있습니다. 계산기하학에서는 여러 점 집합에 대해 외심 개념을 확장한 들로네 삼각분할과 보로노이 다이어그램이 널리 쓰이는데, 이는 평면을 가장 가까운 점을 기준으로 영역을 나누거나 균형 잡힌 삼각형 메쉬를 생성하는 데 활용됩니다.
주의할 점
외심은 삼각형의 종류에 따라 위치가 달라져서, 예각삼각형에서는 삼각형 내부에, 직각삼각형에서는 빗변의 중점에, 둔각삼각형에서는 삼각형 외부에 위치합니다. 반면 내심은 항상 삼각형 내부에 존재합니다. 이는 삼각형의 도형의 합동과 닮음에서 다루는 변·각의 대응 관계와는 별개로, 세 변과 세 각이 만드는 특수한 교점의 성질이라는 점에 유의해야 합니다.
헷갈리기 쉬운 용어
| 용어 | 정의 |
|---|---|
| 외심 | 세 변의 수직이등분선의 교점 (꼭짓점에서 등거리) |
| 내심 | 세 내각의 이등분선의 교점 (변에서 등거리) |
| 무게중심 | 세 중선의 교점 |
| 들로네 삼각분할 | 각 삼각형의 외접원 안에 다른 점이 없도록 하는 분할(외심·외접원 개념을 활용) |
참고 문헌
- Coxeter, H. S. M., & Greitzer, S. L. (1967). Geometry Revisited. Mathematical Association of America.
- Johnson, R. A. (1929). Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Houghton Mifflin.
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