전미분 (Total Differential)

한 줄 정의: 변수가 여러 개인 함수에서, 각 변수가 아주 조금씩 변할 때 함수값 전체가 얼마나 변하는지를 한 번에 더해서 나타낸 식입니다.

쉽게 풀면

직사각형의 넓이 z = xy를 생각해봅시다. 가로 x와 세로 y가 둘 다 아주 조금씩 변한다면, 넓이는 얼마나 변할까요? 가로가 변해서 생기는 변화량과 세로가 변해서 생기는 변화량을 각각 따로 계산한 뒤 더하면 됩니다. 이걸 수식으로 쓴 것이 전미분이며, dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy로 표현합니다. 여기서 ∂z/∂x, ∂z/∂y는 각각 x, y 하나만 바꿀 때의 변화율(편미분)이고, 전미분은 이 개별 변화율들을 전부 합쳐서 "모든 변수가 동시에 조금씩 바뀔 때 전체가 얼마나 변하는지"를 알려줍니다. 즉 부분(편미분)들을 다 모은(전체) 미분이라서 '전(全)미분'입니다.

왜 중요한가

여러 변수가 동시에 조금씩 바뀔 때 전체 결과가 어떻게 변하는지를 다루는 문제는 경제학의 한계효과 분해, 물리학·공학의 오차 전파 및 민감도 분석, 열역학의 상태함수 변화량 계산 등 다양한 분야에서 공통적으로 나타나기 때문에, 전미분은 여러 학문에서 다변수 함수의 변화를 다루는 표준 도구로 쓰입니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

"생산함수의 전미분을 취하여 자본과 노동 투입의 미소 변화가 총생산량 변화에 미치는 영향을 각각 분해하였다."

이 문장은 "생산량이 자본 변화 때문에 얼마나 늘고, 노동 변화 때문에 얼마나 느는지를 전미분 공식으로 각각 나눠서 계산했다"는 뜻입니다. 경제학의 한계효과 분해, 물리학의 오차 전파 계산, 공학의 민감도 분석 등에서 흔히 쓰입니다.

"내부에너지의 전미분을 온도와 부피에 대한 편미분으로 전개하여, 등적 조건에서의 열용량과 상태방정식 사이의 관계를 유도하였다."

열역학에서 상태함수의 전미분이 서로 다른 열역학적 성질들을 연결하는 관계식을 유도하는 데 쓰이는 사례입니다.

"측정 변수들의 오차를 전미분 형태로 전파시켜, 최종 산출값의 합성 표준불확도를 각 입력 변수의 기여분으로 분해하였다."

실험물리·계측 분야에서 여러 측정 오차가 최종 결과에 미치는 영향을 전미분을 이용해 정량적으로 나누는 오차 전파 계산 예시입니다.

조금 더 깊게 보면

전미분이 실제로 존재하려면 편도함수가 각 점에서 존재하는 것만으로는 부족하고, 그 편도함수들이 연속이거나 함수가 해당 점에서 미분가능(differentiable)해야 한다는 더 강한 조건이 필요합니다. 이 조건이 성립하지 않는 함수는 편미분값이 개별적으로 존재해도 전미분으로 근사한 값이 실제 변화량과 크게 어긋날 수 있습니다. 오차 전파 계산에서는 전미분의 각 항을 제곱해 더하는 방식(제곱합의 제곱근)으로 독립적인 오차들을 합성하는 경우가 많다는 점도 논문을 읽을 때 참고할 만합니다.

주의할 점

전미분은 각 변수의 변화가 "아주 작을 때(무한소)"만 정확히 성립하는 근사식입니다. 변화량이 크면 편미분값이 그 사이에서 계속 바뀌므로 단순히 더하는 방식은 오차가 커집니다. 또한 전미분이 존재하려면 함수가 해당 지점에서 매끄럽게(미분가능하게) 정의되어 있어야 하며, 편도함수가 각각 존재한다고 해서 자동으로 전미분이 존재하는 것은 아닙니다.